Question

По кругу написаны натуральные числа, причем каждое равно сумме или
разности своих соседей. Докажите, что количество чисел на круге делится на 3.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Предположим,  что среди всех чисел расположенных по кругу нет нечётных, т.е. все числа чётные. Пусть минимальная степень двойки входящая в разложении этих чисел на простые множители равна x.

Разделим все числа одновременно на 2^x. Полученные при этом числа так же должны удовлетворять начальным условиям, так как b=a±c⇔b/(2^x)=(a±c)/2(2^x)

Получим одно или несколько нечётных чисел. Пусть число а₂ одно из них, а₁ и а₃ соседние числа. Тогда а₁ и а₃-числа разной чётности

Пусть а₁ -нечётное, а₃-чётное.(Док-во при расположения по кругу как по часовой, так и против часовой аналогичны )

а₂-нечётное, а₃-чётное⇒а₄-нечётное

а₃-чётное, а₄-нечётное⇒а₅-нечётное

а₄-нечётное, а₅-нечётное⇒а₆-чётное

И.т.д

Получили ряд чисел {нечётное,нечётное, чётное, нечётное,нечётное, чётное, нечётное,нечётное, чётное, ..., нечётное,нечётное, чётное}

Как видно количество нечётных превышает кол-во чётных ровно в два раза. Т.е. их общее количество равно утроенному количеству чётных чисел и кратно трём.

Ч.т.д.