Question

найти значения выражения

Известно sin(a)=$\frac{1}{14} и \frac{\pi }{2} \ \textless \ a\ \textless \ \pi$

найти значение выражения tg(a)

Answer 1

Поскольку множеством значений функции $f(x)=\arcsin x$ является отрезок $\bigg[{-\dfrac{\pi}{2}};\;\dfrac{\pi}{2}\bigg]$, то угол  $\arcsin\dfrac{1}{14}$ будет лежать в первом квадранте (от $0$ до $\dfrac{\pi}{2}$).

Соответственно, угол $\bigg({-\arcsin\dfrac{1}{14}}\bigg)$ будет лежать в четвертом квадранте (от ${-\dfrac{\pi}{2}}$ до $0$).

Отсюда, прибавив к этому углу $\pi$, окажемся во втором квадранте (от $\dfrac{\pi}{2}$ до

Таким образом, искомый угол равен $\alpha=\pi-\arcsin\dfrac{1}{14}$.

Тогда,

$\begin{aligned}\mathop{\mathrm{tg}}\alpha&=\mathop{\mathrm{tg}}\bigg(\pi-\arcsin\dfrac{1}{14}\bigg)=-\mathop{\mathrm{tg}}\bigg(\arcsin\dfrac{1}{14}\bigg)=-\dfrac{\sin\arcsin\tfrac{1}{14}}{\cos\arcsin\tfrac{1}{14}}=\\&=-\dfrac{\tfrac{1}{14}}{\sqrt{1-\sin^2\Big(\arcsin\tfrac{1}{14}\Big)}}=-\dfrac{1}{14\cdot\sqrt{1-\tfrac{1}{14^2}}}=-\dfrac{1}{\sqrt{14^2-1}}=\\&=-\dfrac{1}{\sqrt{195}}\end{aligned}$

Ответ. $\alpha=\pi-\arcsin\dfrac{1}{14};\;\mathop{\mathrm{tg}}\alpha=-\dfrac{1}{\sqrt{195}}$