Question

В треугольнике АВС АС = 12 ; AB = 10 ; CE и AD - его медианы , M - центр
тяжести . Известно , что биссектрисы четырёхугольника BEMD пересекаются в одной точке . Найдите площадь треугольника АВС

Answer 1

Понятно, зачем нам сказано, что биссектрисы пересекаются в одной точке - ведь эта точка равноудалена от . сторон четырехугольника и поэтому является центром вписанной окружности. А раз в четырехугольник можно вписать окружность, суммы противоположных сторон равны. Таким образом, ME+BD=MD+BE. Это равенство позволяет найти третью сторону треугольника, используя связь между сторонами и медианами треугольника, а также тот факт, что медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Пусть AB=c, BC=a, CA=b, тогда

$CE^2=\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}-\frac{c^2}{4};\ AD^2=\frac{b^2}{2}+\frac{c^2}{2}-\frac{a^2}{4}$ . Поэтому

$\frac{1}{3}\sqrt{\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}-\frac{c^2}{4}}+\frac{a}{2}=\frac{1}{3}\sqrt{\frac{b^2}{2}+\frac{c^2}{2}-\frac{a^2}{4}}+\frac{c}{2},$ а умножив для упрощения это равенство на 6 и подставив b=12 и c=10, получаем

$\sqrt{188+2a^2}+3a=\sqrt{488-a^2}+30.$

При всей моей любви к иррациональным уравнениям, решать это уравнение не хочется. Давайте попробуем угадать решение. И если Вы достаточно настойчивы, то удача в этой задаче к Вам придет - подходит a=10. ($\sqrt{388}+30=\sqrt{388}+30$). Другого решения быть не может, поскольку при a>0 правая часть возрастает, а левая убывает.

Таким образом, мы доказали, что наш треугольник равнобедренный со сторонами 12, 10 и 10. Иными словами, он состоит из двух прямоугольных треугольников с гипотенузой 10 и катетом 6, то есть треугольников, подобных египетскому 3-4-5. Площадь египетского треугольника равна 6, подобного треугольника с коэффициентом подобия 2 равна 24, а поскольку их два, суммарная площадь равна 48.

И наконец, кто не знает формулу для длины медианы, можно воспользоваться или теоремой косинусов, или теоремой Стюарта, или теоремой о сумме длин диагоналей параллелограмма.