Question

Если утроить 2-ой член арифметической прогрессии и к результату прибавить 4-ый член, то получится число 10. Выясни, какая должна быть разность прогрессии, чтобы значение произведения 3-го и 5-го членов прогрессии было самым маленьким из возможных

Answer 1

Ответ:

разность прогрессии, чтобы значение произведения 3-го и 5-го членов прогрессии было самым маленьким из возможных, должна быть d = -3

Объяснение:

Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии.

aₙ = a₁ + d(n-1)

Будем записывать все условия задачи таким образом, чтобы у нас остался в неизвестных только параметр d - разность прогрессии.

"Если утроить 2-ой член арифметической прогрессии и к результату прибавить 4-ый член, то получится число 10"

a₂ = a₁ + d

a₄ = a₁ +3d

3(a₁ + d) + (a₁ + 3d) = 10

4a₁ + 6d = 10

Отсюда выразим a₁ через d

$\displaystyle a_1 = \frac{10-6d}{4}= \boxed {\frac{5-3d}{2} }$

Теперь второе условие/

"значение произведения 3-го и 5-го членов прогрессии"

$\displaystyle a_3 = a_1 + 2d = \frac{5-3d}{2} +2d=\boxed {\frac{5+d}{2} }\\\\\\ a_5 = a_1 + 4d = \frac{5-3d}{2} +4d=\boxed {\frac{5(1+d)}{2} }$

Произведение

$\displaystyle \frac{5+d}{2} *\frac{5(1+d)}{2} =\frac{5}{4}\bigg (5+5d+d+d^2\bigg)=\frac{5}{4} \bigg(d^2+6d+5\bigg)$

И теперь условие минимизации произведения.

Рассмотрим произведение как функцию от d

f(d) =  1,25(d² +6d +5)

Нам надо найти такое значение d, при котором данная функция будет минимальна, т.е. найти точку d₀   минимума функции.

Для этого есть два варианта.

1. через производную ищем критическую точку.

1,25(d² +6d +5) = 1,25d² + 7,5d + 6,25

Необходимое условие экстремума:

первая производная

f'(d) =  2,5d+7,5

2,5d+7,5 = 0    ⇒  d₀  = -3  

Достаточное условие экстремума.

Вторая производная:

f''(d)  = 2.5

в точке  d₀  = -3   (как, впрочем, и в любой другой точке) вторая производная

y''(-3) = 2,5 >  0 - значит точка d₀  = -3   точка минимума функции.

Вот, собственно, и есть наш ответ.

2.

Выделим полный квадрат в скобках

f(d) = 1,25(d² + 2*3d +9 -9 + 5) = 1,25((d+3)² -4)

У данной функции на ее значение влияет только компонента, содержащая  переменную d.

(d+3)²  - это паработа ветвями вверх  (d² + 6d +9)

Минимального значения она достигает в вершине параболы

$\displaystyle d_0=-\frac{b}{2a} =-\frac{6}{2*1} = -3$   - эта точка минимума функции.

Следовательно,  разность прогрессии, чтобы значение произведения 3-го и 5-го членов прогрессии было самым маленьким из возможных, должна быть d = -3

#SPJ3