Question

РЕШИТЕ!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Answer 1

Ответ:

$5621$

Пошаговое объяснение:

Сначала найдем вспомогательную сумму $S_n(s)=\sum\limits_{k=0}^nC_{k+s}^s$

Нетрудно заметить, что

$C_{a+b}^b=\dfrac{(a+b)!}{b!a!}=\dfrac{(a+b-1)!(a+b)}{b!a!}=\dfrac{(a+b-1)!}{b!(a-1)!}+\dfrac{(a+b-1)!}{(b-1)!a!}=\\ =C_{a+b-1}^{b-1}+C_{a+b-1}^b$

Тогда

$S_n(s)=\underbrace{C_s^s}_{C_{s+1}^{s+1}}+C_{s+1}^s+\sum\limits_{k=2}^nC_{k+s}^s=C_{s+2}^{s+1}+\sum\limits_{k=2}^nC_{k+s}^s=C_{s+2}^{s+1}+C_{s+2}^{s}+\sum\limits_{k=3}^nC_{k+s}^s=\\ =C_{s+3}^{s+1}+\sum\limits_{k=3}^nC_{k+s}^s=...=C_{s+n}^{s+1}+\sum\limits_{k=n}^nC_{k+s}^s=C_{s+n}^{s+1}+C_{s+n}^s=C_{s+n+1}^{s+1}$

Домножив на $s!$, получим $s!S_n(s)=s!C_{s+n+1}^{s+1}\Leftrightarrow s!\sum\limits_{k=0}^n\dfrac{(k+s)!}{s!k!}=s!\dfrac{(n+s+1)!}{(s+1)!n!}\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow \sum\limits_{k=0}^n\dfrac{(k+s)!}{k!}=\dfrac{(n+s+1)!}{(s+1)n!}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$

Обозначим $G_n(s)=\sum\limits_{k=0}^n\dfrac{(k+s)!}{k!}$.

Вернемся к исходному условию и преобразуем его:

$\dfrac{1}{10}\sum\limits_{k=0}^{19}(k+1)(k+2)(k+4)=\dfrac{1}{10}\left(\sum\limits_{k=0}^{19}(k+1)(k+2)(k+3)+\sum\limits_{k=0}^{19}(k+1)(k+2)\right)=\\ =\dfrac{1}{10}\left(\sum\limits_{k=0}^{19}\dfrac{(k+3)!}{k!}+\sum\limits_{k=0}^{19}\dfrac{(k+2)!}{k!}\right)=\dfrac{1}{10}\left(G_{19}(3)+G_{19}(2)\right)=(*)$

С учетом (1), получим

$(*)=\dfrac{1}{10}\left(\dfrac{(19+3+1)!}{(3+1)19!}+\dfrac{(19+2+1)!}{(2+1)19!}\right)=\dfrac{1}{10}\left(\dfrac{23\cdot 22\cdot 21\cdot20}{4}+\dfrac{22\cdot 21\cdot20}{3}\right)=\\ =\dfrac{1}{10}\left(23\cdot 22\cdot 21\cdot5+22\cdot 7\cdot20\right)=\dfrac{22\cdot 7\cdot5}{10}\left(23\cdot 3+4\right)=11\cdot 7\cdot 73=5621$