Question

Помогите пожалуйста
Решите уравнение:


​

Answer 1

Ответ:

[ 5 ; 10 ]  

Объяснение:

Answer 2

Ответ:

x ∈ [5;10] в другом виде это выглядит как $5\leq x\leq 10$

Объяснение:

$\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}=1$

Сначала решим первый корень:

Если приглядеться, то можно заметить удвоенное произведение 2 и $\sqrt{x-1}$ под корнем:

$\sqrt{x-2(2*\sqrt{x-1})+3}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}=1$

Это смахивает на квадрат под корнем. Но квадрат $\sqrt{x-1}$ будет x-1, а не x

и квадрат 2 будет 4, а не 3. Но постойте, x+3 это же (x-1)+4. Подставляем:

$\sqrt{(x-1)-2(2*\sqrt{x-1})+4}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}=1$

И ещё немного изменяем:

$\sqrt{(\sqrt{x-1})^2-2(2*\sqrt{x-1})+2^2}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}=1$

Всё, теперь тут прекрасно виден квадрат разности:

$\sqrt{(\sqrt{x-1}-2)^2}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}=1$

Теперь заменяем корень из квадрата разности на модуль разности

$|\sqrt{x-1}-2|+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}=1$

Теперь решаем второй корень. Тут точно так как и в первом корне:

$|\sqrt{x-1}-2|+\sqrt{x-2(3*\sqrt{x-1})+8}=1$

$|\sqrt{x-1}-2|+\sqrt{(x-1)-2(3*\sqrt{x-1})+9}=1$

$|\sqrt{x-1}-2|+\sqrt{(\sqrt{x-1})^2-2(3*\sqrt{x-1})+3^2}=1$

$|\sqrt{x-1}-2|+\sqrt{(\sqrt{x-1}-3)^2}=1$

$|\sqrt{x-1}-2|+|\sqrt{x-1}-3|=1$

Для начала $\sqrt{x-1}$ заменим на t:

$|t-2|+|t-3|=1$

При этом мы точно знаем, что $t\geq0$, ведь t=$\sqrt{x-1}$, а корень всегда либо положителен, либо равен нулю.

Для решения этого уравнения переберём 4 варианта:

1)  $t-2\geq0$ и $t-3\geq0$

2) $t-2\geq0$ и $t-3<0$

3) $t-2<0$ и $t-3\geq0$

4) $t-2<0$ и $t-3<0$

Не забывая, что $t\geq0$ не зависимо от вариантов.

1) Оба подмодульных выражения положительны, значит модули можно открыть со знаком + :

$|t-2|+|t-3|=1$

$t-2+t-3=1$

$2t-2-3=1$

$2t-5=1$

$2t=6$

$t=3$

Правило $t\geq0$ соблюдено, но заменим t на $\sqrt{x-1}$ позже.

2) Первое подмодульное выражение положительно, открываем со знаком + как и в первом варианте, но второе подмодульное выражение отрицательно, открываем его со знаком - :

$|t-2|+|t-3|=1$

$t-2+(-(t-3))=1$

$t-2-t+3=1$

$-2+3=1$

$1=1$

Когда в ответе такой ответ- значит t равно любому числу. Но мы помним, что $t\geq0$ и то, что в данном варианте $t-2\geq0$ и $t-3<0$

В итоге получаем, что $2\leq t<3$

3) Тут всё наоборот. Первое подмодульное выражение меньше нуля, а второе больше:

$|t-2|+|t-3|=1$

$-(t-2)+t-3=1$

$-t+2+t-3=1$

$2-3=1$

$-1=1$

Это неверно, -1 не равна 1, а значит и у этого варианта корней нет.

4) Оба модульных выражения не положительны, а значит открываются эти модули со знаком - :

$|t-2|+|t-3|=1$

$-(t-2)+(-(t-3))=1$

$-t+2-t+3=1$

$-2t+5=1$

$-2t=-4$

$t=2$

Правило $t\geq0$ соблюдено.

Объединяя все ответы мы получаем ответ:

$2\leq t\leq 3$

Пришло время заменить t на $\sqrt{x-1}$.

$2\leq \sqrt{x-1}\leq 3$

возведём всё в квадрат:

$2^2\leq \sqrt{x-1}^2\leq 3^2$

$4\leq x-1\leq 9$

Прибавляем 1 и получаем окончательный ответ:

$5\leq x\leq 10$

Ответ: x ∈ [5;10]