Question

Помогите пожалуйста решить ​

Answer 1

По неравенству Коши между средними арифметическим и средним геометрическим двух положительных чисел $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$ мы имеем

$36^{x^2+y}+36^{y^2+x}\ge 2\sqrt{36^{x^2+y}\cdot 36^{y^2+x}}=2\sqrt{36^{x^2+y+y^2+x}}=2\cdot 6^{x^2+x+y^2+y}=$

$=2\cdot 6^{(x+1/2)^2+(y+1/2)^2-1/2}\ge 2\cdot 6^{-1/2}=\frac{2}{\sqrt{6}}.$

Мы доказали, что левая часть уравнения всегда больше или равна правой.  Чтобы левая и правая части были равны, нужно, чтобы все неравенства в нашей цепочке были равенствами. Первое становится равенством, когда a=b - это входит в формулировку неравенства Коши, - в нашем случае когда

$x^2+y=y^2+x,$

Второе неравенство становится равенством, когда x=-1/2; y=-1/2.

Видим, что при таких x и y первое неравенство также превращается в равенство, поэтому найденные x и y дают ответ.

Ответ: ( - 1/2: - 1/2).