Question

ЕСЛИ ВЕКТОРЫ 2a+b и a-3b перпендикулярны. и по условии a=2b найдите угол между векторами
а)120° б)30° в)150° г)60°

Answer 1

Если два вектора перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю:

$(2\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}-3\vec{b})=0$

$2(\vec{a})^2+\vec{a}\cdot\vec{b}-2\vec{a}\cdot3\vec{b}-3(\vec{b})^2=0$

$2|\vec{a}|^2-5\cdot\vec{a}\cdot\vec{b}-3|\vec{b}|^2=0$

$2|\vec{a}|^2-5\cdot|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\varphi-3|\vec{b}|^2=0$

Так как $a=2b$, то:

$2|2\vec{b}|^2-5\cdot|2\vec{b}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\varphi-3|\vec{b}|^2=0$

$8|\vec{b}|^2-10|\vec{b}|^2\cdot\cos\varphi-3|\vec{b}|^2=0$

$5|\vec{b}|^2-10|\vec{b}|^2\cdot\cos\varphi=0$

$5-10\cos\varphi=0$

$10\cos\varphi=5$

$\cos\varphi=\dfrac{1}{2}$

Учитывая, что $\varphi$ - угол между векторами, то есть величина, принимающая значения на отрезке $[0^\circ;\ 180^\circ]$, то:

$\varphi=60^\circ$

Ответ: 60 градусов