Question

Дана шахматная доска. Разрешается перекрашивать в другой цвет сразу все
клетки, расположенные внутри квадрата размером 2 × 2 Может ли после
нескольких таких операций на доске остаться ровно одна черная клетка?

Answer 1

Представим, что черные клетки это единички,  а белые клетки это нули. Если поменять все нули на единицы и наоборот (перекрашиваем цвета на противоположный) внутри любого квадрата 2x2, то четность суммы чисел внутри квадрата 2x2 остается неизменной. Но тогда, четность суммы всех чисел на шахматной доске остается неизменной после каждой операции. Иначе говоря, четность суммы всех чисел на доске 8x8 при любой операции одинакова и равна четности суммы чисел изначальной доски. Cумма чисел у начальной доcки: 32 - четна, однако если на доске остается одна черная клетка, то сумма должна быть нечетной.

Мы пришли к противоречию, такое невозможно.