Question

найти предел функций двух переменных 88 и 91 ​

Answer 1

Ответ:

88) e; 91) 0

Пошаговое объяснение:

88) Перейдем к полярным координатам:

$\lim\limits_{x\to 0,y\to 0} (1+x^2+y^2)^{\frac{1}{x^2+y^2}}=\left[x=r\cos\varphi, y=r\sin\varphi\right]=\lim\limits_{r\to 0} (1+r^2)^{\frac{1}{r^2}}=e$

91) Для достаточно больших значений y [на самом деле, можно явно указать, что |y|≥1, но такая конкретика здесь не важна] верно $y^4\geq y^2>0$.

Тогда $x^2+y^4\geq x^2+y^2>0\Rightarrow (x^2+y^4)^2\geq (x^2+y^2)^2>0$, откуда, с учетом неравенства о средних, $(x^2+y^4)^2\geq (2|xy|)^2=4(xy)^2$

Но тогда

$\dfrac{(x+y)^2}{(x^2+y^4)^2}\leq \dfrac{(x+y)^2}{4(xy)^2}=\underbrace{\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{x}\right)^2}_{g(x)}$

Очевидно, $\lim\limits _{x\to\infty,y\to\infty}g(x)=0$. При этом $\dfrac{(x+y)^2}{(x^2+y^4)^2}\geq 0$

Значит,

$0\leq \lim\limits _{x\to\infty,y\to\infty}\dfrac{(x+y)^2}{(x^2+y^4)^2}\leq 0\Rightarrow \lim\limits _{x\to\infty,y\to\infty}\dfrac{(x+y)^2}{(x^2+y^4)^2}=0$