В прямоугольном треугольнике из вершины угла, равного 60°, проведена биссектриса, длина которой равна 20 см. Найдите длину катета, лежащего против этого угла.
Ответы
Ответ:
Катет, лежащий против угла 60°, равен 30 см
Объяснение:
Дано:
Треугольник АВС:
∠А = 90°; ∠В = 60°;
ВК - биссектриса угла В
ВК = 20 cм
Найти:
АС - катет, лежащий против угла В
Решение:
∠С = 90° - ∠В = 90° - 60° = 30°
∠АВК = 30°, так как биссектриса ВК делит ∠В пополам.
В ΔАВК известна гипотенуза ВК = 20 см и ∠АВК = 30°. Катет АК, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы, то есть
АК = 10 cм.
Катет АВ = ВК · cos 30° = 20 · 0,5 √3 = 10√3 cм.
В треугольнике АВС известен катет АВ = 10√3 см и ∠В = 60°.
Катет АС = АВ · tg B = 10√3 · √3 = 30 (см)
Пусть треугольник АВС.
Угол С прямой. Угол А=60° делится биссектрисой АД на два по 30°.
Второй острый угол В=90-60=30° по свойству острых углов прямоуг. треугольника.
Рассм. треугольник АДВ. При основании АВ оба угла по 30° .
Значит он равнобедренный.
АД=ДВ=20.
В треугольнике АСД катет СД лежит против угла 30°. СД=(1/2)АД=10.
Итого катет СВ равен 30 см. Это ответ.