Question

Можно ли представить 1 в виде суммы 1000 дробей, числители которых
равны 1, а знаменатели – нечетные числа?

Answer 1

Ответ:

нет

Пошаговое объяснение:

Очевидно, что если сумма положительных дробей равна 1, то каждая из дробей должна быть меньше 1. То есть знаменатель может быть 3, 5, 7, 9 и т.д.

В общем виде такое нечетное число будет:

$2k+1, \ k \in \mathbb{N}$

(Если числа разные, то вместо k может быть любая другая буква)

Количество дробей чётно (1000 - чётное число), значит все дроби можно разделить на пары (то есть на сумму двух дробей), тогда получится 500 пар

Возьмем произвольную такую пару.

$\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2n+1}=\frac{2n+1+2k+1}{(2k+1)(2n+1)}=\frac{2n+2k+2}{4kn+2k+2n+1} =\frac{2(n+k+2)}{2(2kn+k+n)+1}=\frac{2a}{2b+1}$

Получается, что сумма любых двух таких чисел дает дробь у которой в числителе четное число, а в знаменателе - нечетное.

Теперь возьмем одну такую пару и прибавим к ней другую:

$\frac{2a}{2b+1}+\frac{2c}{2d+1}=\frac{2a(2d+1)+2c(2b+1)}{(2b+1)(2d+1)} =\frac{2[a(2d+1)+c(2b+1)]}{4bd+2b+2d+1} =\frac{2m}{2p+1}$

Значит, если мы просуммируем все такие пары, то в итоге получим дробь, где числитель четный, а знаменатель - нечетный. Но единица получается только тогда, когда числитель равен знаменателю (вроде 2/2=1; 5/5=1 и т.д.).

Таким образом, представить 1 в виде суммы 1000 дробей нельзя