Question

Точка I — центр окружности, вписанной в треугольник ABC, D — середина стороны AB. Найдите периметр треугольника, если известно, что AC=1, а угол AID прямой.

Answer 1

DE||AC, DE=AC/2 (средняя линия)

∠ADE+∠DAC=180 (внутренние углы при параллельных)

Пусть биссектрисы углов ADE и DAC пересекаются в точке X.

∠ADX+∠DAX =90 => ∠AXD=90

Из точки D можно опустить только один перпендикуляр к прямой AI =>

точки X и I совпадают => DI - биссектриса ∠ADE

В трапеции ADEC биссектрисы трех углов пересекаются в одной точке - трапеция описанная (т.е. имеет вписанную окружность).

В описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

AD+CE =AC+DE

DE =AC/2 =0,5 => AC+DE =1,5 =AD+CE

AB+BC =2(AD+CE) =2*1,5 =3

P(ABC) =AB+BC+AC =3+1 =4