Question

решите систему$\displaystyle\left \{ {{x+y+z=6\atop {x^2+y^2+z^2=12}}\atop {\log_xy^2=z}} \right.$

Answer 1

Ответ: $\sf \large \boldsymbol {} ( 2 \ ; \ 2 \ ; \ 2 )$

Пошаговое объяснение:

$\left \{ {\begin{array}{ccc}x+y+z=6 & \\\\ x^2+y^2+z^2=12 & \\\\\!\!\!\!\!\!\!\log_xy^2=z\end{array}\right=> \left \{ {\begin{array}{ccc}x+y+z=x^2 & \\\\ x^2+y^2+z^2=12 & \\\\\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!y^2=x^z\end{array}\right. \displaystyle ODZ: \left \{ {\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{y>0 } \atop {x>0 \ ; \ x\neq 1}} \right.$  

Воспользуемся неравенством :

$x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+xz$  они будут равны только  когда $x=y=z$

Найдем xy+xz+yz

$xy+xz+yz=((x+y+z)^2 -(x^2+y^2+z^2) ):2 \\\\ xy+yz+xz=(36-12):2=12$

Можно заметить что  

$x^2+y^2+z^2=xy+xz+yz =12 => x=y=z=2$