Question

Решите уравнение:
$\bf\\x-4=\dfrac{(x+14)^2}{(3+\sqrt{23+x})^2 }$

Answer 1

Ответ:

$x=13$

Пошаговое объяснение:

Проведём замену переменной $t=\sqrt{23+x}$, $x=t^2-23$. Тогда:

$\frac{(x+14)^2}{(3+\sqrt{23+x})^2 } = \frac{(t^2-23+14)^2}{(3+t)^2} = \frac{(t^2-9)^2}{(t+3)^2} = (\frac{(t-3)(t+3)}{t+3}) ^2=/t+3\neq 0,~t\neq-3/=(t-3)^2$

$x-4=t^2-23-4=t^2-27$

Итого:

$t^2-27=(t-3)^2\\t^2-27=t^2-6t+9\\6t=9+27=36\\t=6$

Значит, т.к. $t>0,~t\neq-3$, $x=6^2-23=13$.

Answer 2

a² - b² = (a - b)(a + b)

x - 4 = (x + 14)²/(3 + √(23 + x))²

одз

23 + x >= 0     x ≥ -23

3 + √(23 + x) ≠ 0  x∈R

x ∈ [-23, +∞)

заметим, что правая часть >= 0 ⇒ x - 4 ≥ 0   x ≥ 4

x + 14 = x + 23 - 9 = √(x + 23)² - 3² =  (√(x + 23) - 3)(√(x + 23) + 3)  

x - 4 = (x + 14)²/(3 + √(23 + x))²

x ≥ 4

√(x - 4) = (x + 14)/(3 + √(23 + x))

√(x - 4) = (3 + √(23 + x))(√(23 + x) - 3)/(3 + √(23 + x))

3 + √(23 + x) ≠ 0

√(x - 4) = √(23 + x) - 3

√(x - 4) + 3 = √(23 + x)

x - 4 + 6√(x - 4) + 9 = 23 + x

6√(x - 4) = 18

√(x - 4) = 3

x - 4 = 9

x = 13

ответ 13