Question

Докажите, что треугольник с вершинами A(-5; 101), B(4; 99) и С(-12; 107) равнобедренный. Найдите длину высоты этого треугольника, опущенной на его основание.

Answer 1

Найдем длины сторон треугольника:

$AB=\sqrt{(4-(-5))^2+(99-101)^2} =\sqrt{9^2+(-2)^2} =\sqrt{85}$

$AC=\sqrt{(-12-(-5))^2+(107-101)^2} =\sqrt{(-7)^2+6^2} =\sqrt{85}$

$BC=\sqrt{(-12-4)^2+(107-99)^2} =\sqrt{(-16)^2+8^2} =\sqrt{320}=2\sqrt{80}$

Так как $AB=BC$, треугольник равнобедренный.

Найти требуемую высоту можно, например, пользуясь формулами площади треугольника.

Найдем полупериметр треугольника, чтобы впоследствии можно было удобно применить формулу Герона:

$p=\dfrac{AB+AC+BC}{2} =\dfrac{\sqrt{85} +\sqrt{85}+\sqrt{320}}{2} =\dfrac{2\sqrt{85}+2\sqrt{80}}{2} =\sqrt{85}+\sqrt{80}$

По формуле Герона получим:

$S=\sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)} =$

$=\sqrt{(\sqrt{85}+\sqrt{80} )(\sqrt{85}+\sqrt{80}-\sqrt{85} )^2(\sqrt{85}+\sqrt{80}-2\sqrt{80} )} =$

$=\sqrt{(\sqrt{80})^2(\sqrt{85}+\sqrt{80} )(\sqrt{85}-\sqrt{80})} =\sqrt{(80\cdot ((\sqrt{85})^2-(\sqrt{80} )^2)} =$

$=\sqrt{(80\cdot (85-80)} =\sqrt{80\cdot 5}$

Теперь запишем площадь треугольника как половину произведения основания на высоту, причем в качестве высоты треугольника выберем искомую:

$S=\dfrac{1}{2} \cdot BC\cdot h=\dfrac{1}{2} \cdot 2\sqrt{80} \cdot h=\sqrt{80} \cdot h$

Приравнивая два значения площади, получим:

$\sqrt{80} \cdot h=\sqrt{80\cdot 5}$

$h=\sqrt{5}$

Ответ: $\sqrt{5}$