Question

Решите неравенство!!!!!!!!

Answer 1

Ответ:

$x=4$

Объяснение:

Введем обозначения:

$\sqrt{x-3}=a,\sqrt{5-x}=b$

Тогда левая часть неравенства примет вид

$\dfrac{(a+b)}{(a+b-2(ab)^2+6)} + \dfrac{(-(ab)^2+3)}{(-(ab)^2+5+2*a^{16})} + \dfrac{(a^{16}+1)}{(a^{16}+1+2(a+b))}$

Вновь введем обозначения:

$(a+b)=c, -(ab)^2+3=d, a^{16}+1=e$

Неравенство примет вид

$\dfrac{c}{c+2d}+\dfrac{d}{d+2e}+\dfrac{e}{e+2c}\leq 1\;\;\;\;\;\;\;(1)$

Но, согласно лемме Титу,

$\dfrac{c}{c+2d}+\dfrac{d}{d+2e}+\dfrac{e}{e+2c}=\dfrac{c^2}{c^2+2cd}+\dfrac{d^2}{d^2+2de}+\dfrac{e^2}{e^2+2ec}\geq \\ \geq \dfrac{(c+d+e)^2}{c^2+2cd+d^2+2de+e^2+2ec}=\dfrac{(c+d+e)^2}{(c+d+e)^2}=1$ , причем равенство достигается лишь при $c=d=e$.

Значит, $(1)$ равносильно $c=d=e$.

Возвращаясь к введенным ранее переменным, получим

$(a+b)= -(ab)^2+3=a^{16}+1$

1ое равенство:

$\sqrt{x-3}+\sqrt{5-x}=x^2-8x+18\\ \left[t=x-4\right]\\ \sqrt{t+1}+\sqrt{1-t}=t^2+2$

Возведем в квадрат:

$\underbrace{2+2\sqrt{1-t^2}}_{<=2+2\cdot 1=4}=\underbrace{(t^2+2)^2}_{\geq 2^2=4}$

Значит, если корни и есть, то они удовлетворяют условию $t=0$. Отсюда $x=4$.

Проверим:

$(a+b)=1+1=2;\\ -(ab)^2+3=-(1\cdot 1)^2+3=2;\\ a^{16}+1=1^{16}+1=2$

Т.е. $c=d=e$ - а значит $x=4$ - решение исходного неравенства.