Question

Найти все пары чисел (x, y), которые удовлетворяют уравнению
$\bf\\\Bigg(cos^2x+\dfrac{1}{cos^2x} \Bigg)^2+\Bigg(sin^2x+\dfrac{1}{sin^2x} \Bigg)^2=12+\dfrac{1}{2} siny$

Answer 1

По неравенству Коши между средним арифметическим и средним геометрическим

$\left(\cos^2x+\frac{1}{\cos^2x}\right)^2+\left(\sin^2x+\frac{1}{\sin^2x}\right)^2\ge2\left(\cos^2x+\frac{1}{\cos^2x}\right)\left(\sin^2x+\frac{1}{\sin^2x}\right),$

причем неравенство превращается в равенство, когда

$\cos^2x+\frac{1}{\cos^2x}=\sin^2x+\frac{1}{\sin^2x};\ \cos^4x\sin^2x+\sin^2x=\sin ^4x\cos^2x+\cos^2x;$

$(\cos^2x\sin^2x-1)(\cos^2x-\sin^2x)=0;$

первая скобка в ноль не обращается, а вторая равна нулю, когда

$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$ При этих значениях x левая часть уравнения равна

$2\left(\frac{1}{2}+2\right)^2=\frac{25}{2}.$ При прочих значениях  x, входящих в ОДЗ, левая часть больше указанного числа. Правая же часть уравнения не больше 25/2, и принимает это значение, когда sin y=1, то есть $y=\frac{\pi}{2}+2\pi k.$

Ответ: $\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2};\frac{\pi}{2}+2\pi k\right);\ n,\ k\in Z.$