Question

Делится ли число 11 · 21 · 31 · . . . · 91 − 1 на 5? (Ответ обоснуйте.)​

Answer 1

$11 \cdot 21 \cdot 31 \cdot \ldots\cdot 91 - 1$

Рассмотрим число $11 \cdot 21 \cdot 31 \cdot \ldots\cdot 91$. Так как каждый множитель в произведении оканчивается на 1, то и все произведение оканчивается на 1.

Таким образом:

$11 \cdot 21 \cdot 31 \cdot \ldots\cdot 91 - 1=\ldots1 - 1$

Но когда мы от числа, оканчивающегося на 1, отнимем 1, то получим число оканчивающееся на 0:

$11 \cdot 21 \cdot 31 \cdot \ldots\cdot 91 - 1=\ldots1 - 1=\ldots0$

В соответствии с признаком делимости на 5, если число оканчивается на 0 или на 5, то оно делится на 5. Значит, рассматриваемое число делится на 5.

Ответ: да, делится