Question

Решить уравнение
$5x\left(2+\sqrt{x^2+12x+13}+\sqrt{x^2+17x+8}\right)=$
$=10+6\sqrt{x^2+12x+13}+4\sqrt{x^2+17x+8}$

Answer 1

Ответ:

$x=1$

Объяснение:

Введем замену

$\sqrt{x^2+12x+13}=a,\sqrt{x^2+17x+8}=b\Rightarrow b^2-a^2=5x-5;a\geq 0;b\geq 0$

Тогда, после переноса всех слагаемых в левую часть, уравнение примет вид

$2(b^2-a^2)+(b^2-a^2-1)a+(b^2-a^2+1)b=0\\ 2(b^2-a^2)+(b^2-a^2)(a+b)+(b-a)=0\\ (b-a)(2(b+a)+(b+a)(a+b)+1)=0\\ (b-a)\underbrace{(\underbrace{2(b+a)}_{\geq 0}+\underbrace{(a+b)^2}_{\geq 0}+\underbrace{1}_{>0})}_{>0}=0$

Значит,

$b-a=0\\ a=b$

Возвращаясь к исходной переменной, получим

$\sqrt{x^2+12x+13}=\sqrt{x^2+17x+8}$

Возведем в квадрат:

$x^2+12x+13=x^2+17x+8\\ 5=5x\\ x=1$

Проверка:

$5(2+\sqrt{26}+\sqrt{26})=10+6\sqrt{26}+4\sqrt{26}\\ 10+10\sqrt{26}=10+10\sqrt{26}$ - верно.