Предмет: Алгебра
Автор: Simba2017
Вопрос задан 6 лет назад

< >

решить в целых числах (продолжение):
(x^2+y^2)(x+y-3)=2xy
(вопрос создан для конкретного пользователя)

Simba2017: ок!

guvanch021272: (0; 0); (2; 2); (0;3); (3; 0)

Simba2017: решение уже есть, предлагается другой способ решения

guvanch021272: где?

Simba2017: https://znanija.com/task/45160966

guvanch021272: ок. ознакомлюсь

Simba2017: если у вас другой способ решения-пишите...

guvanch021272: у меня в данное время картинки не просматриваются. какая там основная идея? если у меня другая - напишу.

Simba2017: идея не моя...

kanmmu: Симба, я изложил свою идею в комменте к ответу mmb1. Если остались вопросы, с радостью отвечу.

Ответы

Ответ дал: mmb1

(x^2+y^2)(x+y-3)=2xy

1. виден сразу первый ответ x = 0 y = 0

x² + y²= 0 xy = 0

2. рассмотрим x = 0

y²(y - 3) = 0

y = 0

y = 3

3. рассмотрим y = 0

x²(x - 3) = 0

x = 0

x = 3

4. рассмотрим x ≠ 0 y ≠ 0

x, y > 0 одного знака

так как x+y-3 целое и xy ≠ 0 , то поделив на xy лево и право получим

(x^2+y^2)(x+y-3)/xy=2xy/xy

(x/y + y/x)(x + y - 3) = 2

x/y + y/x - целое и ≥ 2

x + y - 3 целое и > 0 и < 2

значит

x/y + y/x = 2

x + y - 3 = 1

----

(x - y)² = 0

x + y = 4

----

x = y

x = 2 y = 2

5. рассмотрим x ≠ 0 y ≠ 0

x, y < 0 одного знака

так как x^2+y^2 > 0 2xy > 0

а (x + y - 3) < 0

решений нет

6. рассмотрим x ≠ 0 y ≠ 0

x, y разных знаков

так как x+y-3 целое и xy ≠ 0 , то поделив на xy лево и право получим

(x^2+y^2)(x+y-3)/xy=2xy/xy

(x/y + y/x)(x + y - 3) = 2

(x/y + y/x) - целое и ≥ -2

x + y - 3 целое и < 0 и > -2

значит

-(x/y + y/x) = 2

x + y - 3 = -1

----

(x + y)² = 0

x + y = 2

----

x = -y

0 = -2 решений нет

ответ (0,0) (0,3) (3,0) (2,2)

guvanch021272: x^2+n^2>=2nx>0 ==> 0

guvanch021272: x^2+n^2>=2nx>0 ==> 0 n-x+3=1

guvanch021272: Фигня какая то. Два раза символы пропускаются

guvanch021272: 6) (x/y + y/x) - целое и ≥ -2. неравенство наоборот

guvanch021272: Пришла идея. Нужно было изначально взять модуль. Если верно равенство a=b, то также будет верно |a|=|b|. Дальше можно обойтись разбором 3 случаев

kanmmu: Поскольку не успел добавить свое решение, покажу идею на базе Вашего, так как первые три пункта у нас идентичны. Начиная с 4, я рассуждал иначе. У нас имеется произведение двух целых чисел, оно равно 2. Целые делители 2: +-1 и +-2, причем первая скобка по модулю >=2 (как взаимнообратные), а значит она равна по модулю 2 при х=у. Значит нужно рассмотреть 2 тривиальных случая: 2×1 и (-2)×(-1).

igorShap: А почему слева произведение целых чисел? Ведь из того, что (x + y - 3) целое не следует напрямую, что и (x/y + y/x) тоже целое. [1/4*8=2 - 1/4 не целое]

kanmmu: Я же указал, что в первой скобке сумма взаимнообратных чисел, которая по модулю не меньше 2. Случай когла больше нам не подойдет, иначе вторая скобка по модулю будет меньше 1, что невозможно, так как х,у-целые.

igorShap: А, это понятно. Но у Вас в комментарии это идет в обратном порядке: сначала Вы говорите, что оба числа целые, а уже потом рассматриваете делители и оценку ) Отсюда и возник вопрос

kanmmu: Прошу прощения. Просто изначально коммент получился длинный и не добавлялся. Пришлось урезать, не обратил внимания, что логика нарушилась)

Ответ дал: guvanch021272

Ответ:

(0;0); (0;3); (3;0); (2;2)

Объяснение:

Приложения: