решить в целых числах (продолжение):
(x^2+y^2)(x+y-3)=2xy
(вопрос создан для конкретного пользователя)
Ответы
(x^2+y^2)(x+y-3)=2xy
1. виден сразу первый ответ x = 0 y = 0
x² + y²= 0 xy = 0
2. рассмотрим x = 0
y²(y - 3) = 0
y = 0
y = 3
3. рассмотрим y = 0
x²(x - 3) = 0
x = 0
x = 3
4. рассмотрим x ≠ 0 y ≠ 0
x, y > 0 одного знака
так как x+y-3 целое и xy ≠ 0 , то поделив на xy лево и право получим
(x^2+y^2)(x+y-3)/xy=2xy/xy
(x/y + y/x)(x + y - 3) = 2
x/y + y/x - целое и ≥ 2
x + y - 3 целое и > 0 и < 2
значит
x/y + y/x = 2
x + y - 3 = 1
----
(x - y)² = 0
x + y = 4
----
x = y
x = 2 y = 2
5. рассмотрим x ≠ 0 y ≠ 0
x, y < 0 одного знака
так как x^2+y^2 > 0 2xy > 0
а (x + y - 3) < 0
решений нет
6. рассмотрим x ≠ 0 y ≠ 0
x, y разных знаков
так как x+y-3 целое и xy ≠ 0 , то поделив на xy лево и право получим
(x^2+y^2)(x+y-3)/xy=2xy/xy
(x/y + y/x)(x + y - 3) = 2
(x/y + y/x) - целое и ≥ -2
x + y - 3 целое и < 0 и > -2
значит
-(x/y + y/x) = 2
x + y - 3 = -1
----
(x + y)² = 0
x + y = 2
----
x = -y
0 = -2 решений нет
ответ (0,0) (0,3) (3,0) (2,2)
Ответ:
(0;0); (0;3); (3;0); (2;2)
Объяснение:
![](https://st.uroker.com/files/32b/32ba765d8a0881184852c641f57019a3.bmp)