Question

решить уравнение
$x^3+3x+5\sqrt{2} =0$

Answer 1

Функция в левой части уравнения монотонна, поэтому решений нет больше чем одно; $x=-\sqrt{2}$ легко угадывается.

Ответ: $-\sqrt{2}.$

Чуть более подробно: $y=x^3$ возрастает, y=3x возрастает, поэтому их сумма возрастает, откуда x³+3x может равняться $-5\sqrt{2}$ максимум при одном значении  x (если так сложно, можно использовать производную:

$(x^3+3x)'=3x^2+3>0\Rightarrow y=x^3+3x -$ возрастающая функция).

Теперь по поводу угадывания решения:

$x^3+3x+2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=0;\ (x^3+(\sqrt{2})^3)+3(x+\sqrt{2})=0;\ x=-\sqrt{2}.$

Или так: целых решений очевидно нет. Естественно искать решение в виде $x=A\sqrt{2}\Rightarrow (A\sqrt{2})^3+3A\sqrt{2}+5\sqrt{2}=0; (2A^3+3A+5)\sqrt{2}=0;$

$2A^3+3A+5=0; A=-1$ угадывается; $x=-\sqrt{2}.$

Конечно, ничего этого при решении задачи я не делал. А просто угадал ответ, и ничего зазорного в этом не вижу.