Question

решите уравнение
$\bf\\x\cdot2^{\frac{1}{x} }+\dfrac{1}{x}\cdot2^x=4$

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

$\displaystyle\\x\cdot2^{\frac{1}{x} }+\frac{1}{x} \cdot2^x=4$

$ODZ:x\neq 0$

правая часть положительна, значит $x>0$

слагаемые в левой части положительные

воспользуемся неравенством между средним арифметическим

и средним геометрическим : $\dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$

$\displaystyle\\x\cdot2^{\frac{1}{x} }+\frac{1}{x} \cdot2^x\geq 2\sqrt{x\cdot2^{\frac{1}{x}}*\frac{2^x}{x} } =2\sqrt{2^{\frac{1}{x}}*2^x }=2\sqrt{2^{x+\frac{1}{x} }}\geq 2\sqrt{2^2} =4$

неравенство превратилось в равенство,

это возможно только при равенстве слагаемых

$\displaystyle\left \{ {{x*2^{\frac{1}{x}}=\dfrac{2^x}{x} } \atop {x+\dfrac{1}{x}=2 }} \right.$

$x=1$

подстановкой $x=1$ в исходное уравнение убеждаемся,

что найденное значение является его корнем

Ответ: $x=1$