Question

Решить в натуральных числах (British Mathematical Olimpiad $2009$)

$\sqrt{x} +\sqrt{y} =\sqrt{2009}$

Answer 1

Ответ:

(41;1476); (164; 1025); (369; 656); (656; 369); (1025; 164); (1476; 41)

Пошаговое объяснение:

√x+√y=√2009, x,y∈N

√y=√2009-√x

y=(√y)²=(√2009-√x)²=2009+x-2√(2009x)=2009+x-14√(41x)

y=2009+x-14√(41x)

14√(41x)=2009+x-y

14²·(41x)=(2009+x-y)²=k², k∈N⇒41x=m², m∈N

41-простое число⇒x=41a², a∈N

Аналогично доказывается, что y=41b², b∈N

√x+√y=√2009, x,y∈N

√(41a²)+√(41b²)=√2009, a,b∈N

a√41+b√41=7√41

a+b=7, a,b∈N⇒(a;b)={(1;6);(2;5);(3;4);(4;3);(5;2);(6;1)}⇒

x=41a²; y=41(14-a)², a=1;2;3;4;5;6