Question

решите уравнение:
$4{x}^{4} - 2 {x}^{2} - 1 \geqslant 0$
​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

это биквадратное неравенство

будем решать через замену

положим 2x² = z

тогда получим обычное квадратное неравенство

z² -z -1 ≥ 0

корни уравнения z² -z -1 = 0  

$\displaystyle D=5\qquad z_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D} }{2a} =\frac{1\pm \sqrt{5} }{2}$

поскольку это парабола ветвями вверх, то  ≥ 0 она будет при  

$\displaystyle z_1\leq \frac{1-\sqrt{5} }{2} \qquad z_2\geq \frac{1+\sqrt{5} }{2}$

далее возвращаемся к нашей замене

2х² не может быть ≤ отрицательного числа.

поэтому мы берем корень z₂ и делаем обратную замену

$\displaystyle 2x^2\geq \frac{1+\sqrt{5} }{2} \\\\x^2\geq \frac{1+\sqrt{5} }{4}\\\\x_1\leq -\frac{\sqrt{1+\sqrt{5} } }{2} \quad \bigg (\approx -0.89945 \bigg )\\\\x_2\geq \frac{\sqrt{1+\sqrt{5} } }{2} \quad \bigg (\approx 0.89945 \bigg )$

таким образом получим ответ

$\displaystyle x \in \bigg (-\infty; -\frac{\sqrt{1+\sqrt{5} } }{2} \bigg ]\cup \bigg [\frac{\sqrt{1+\sqrt{5} } }{2} ;+\infty \bigg )$

для проверки посмотрим на график и убедимся, что решение наше правильное.

при этом помним, что на графике рассматриваем область, где

функция ≥ 0 соответственно выбираем область для х