(x² - 3x - 5)² - 3(x² - 3x - 5) - 5 = x
Добрый вечер! Сможет кто помочь? Нужно найти корни. Многое перепробовал, но не выходит ничего нормального:
Метод замены переменной не получается из-за 'x' в конце. При раскрытии скобок всего выражения, на множители оно не раскладывается. Получилось решить только теоремой Безу: подобрал первый корень -1. Поделив многочлен на (x+1), получил кубический многочлен, который тоже не раскладывается, но подобрал другой корень 5... Что-то попроще хочется. Фотомат не предлагать!
Ответы
Ответ:
x₁=-1; x₂=5, x₃,₄=1±2√2
Пошаговое объяснение:
Это уравнение 4-ой степени которое можно решить обычным разложением на множители после нахождения пары корней методом угадывания. Но это долго и не всегда эффективно
Это уравнение вида f(f(x))=x, которое равносильно уравнению f(x)=x, при условии что функция f(x) монотонно возрастает. Но это не так.
И всё же. Корни уравнения f(x)=x при любом f(x) являются корнями уравнения f(f(x))=x.
Док-во.
Пусть x₀ корень уравнения f(x)=x. Тогда f(x₀)=x₀
f(f(x₀))=f(x₀)=x₀
Значит x₀ также и корень уравнения f(f(x))=x.
Это всё теория. Переходим к решению.
Рассмотрим функцию f(x)=x² - 3x - 5(парабола, нет условия монотонного возрастания)
f(f(x))=(f(x))² - 3(f(x)) - 5=(x² - 3x - 5)² - 3(x² - 3x - 5) - 5
f(f(x))=x
Находим корни уравнения f(x)=x
x² - 3x - 5=x
x² - 4x - 5=0
D=36
x=2±3
x₁=-1; x₂=5
После нахождения пары корней уравнения 4-ой степени не сложно найти и остальные.
(x² - 3x - 5)² - 3(x² - 3x - 5) - 5 = x
x⁴+9x²+25-6x³-10x²+30x-3x²+9x+15-5-x=0
x⁴-6x³+9x²-10x²-3x²+30x-x+9x+15-5+25=0
x⁴-6x³-4x²+38x+35=0
x⁴-6x³-4x²+38x+35=(x²-4x-5)P(x)
x⁴-6x³-4x²+38x+35=(x⁴-4x³-5x²)-(2x³-8x²-10x)-(7x²-28x-35)=
=x²(x²-4x-5)-2x(x²-4x-5)-7(x²-4x-5)=(x²-4x-5)(x²-2x-7)
(x²-4x-5)(x²-2x-7)=0
x₁=-1; x₂=5
x²-2x-7=0
x₃,₄=(2±4√2)/2=1±2√2