Question

Решите 3 и 4 пожалуйста дам 35 баллов

Answer 1

3) $\frac{1}{1 - \sqrt[4]{2} } = - 1 -\sqrt{2} - \sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{8}$

Если умножить и знаменатель и числитель на одно и тоже число дробь не измениться. Так что умножим обе части на $1 - \sqrt[4]{2}$

$\frac{1}{1 - \sqrt[4]{2} } = \frac{1 + \sqrt[4]{2}}{(1 - \sqrt[4]{2}) * (1 + \sqrt[4]{2}) } = \frac{1 + \sqrt[4]{2}}{1 - \sqrt{2} }$

Проделаем то же самое еще раз умножив на этот раз на $1 + \sqrt{2}$

$\frac{(1 + \sqrt[4]{2}) * (1 + \sqrt{2})}{(1 - \sqrt{2}) * (1 + \sqrt{2}) } = \frac{(1 + \sqrt[4]{2}) * (1 + \sqrt{2})}{1 - 2} = - (1 + \sqrt[4]{2}) * (1 + \sqrt{2})$

Тут думаю все понятно, раскрываем скобки

$- (1 + \sqrt[4]{2}) * (1 + \sqrt{2}) = - (1 + \sqrt{2} + \sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{2^2*2}) = - 1 -\sqrt{2} - \sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{8}$

4) $\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5} } = \frac{2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} - \sqrt{30}}{12}$

Первым делом избавимся от одного из корней знаменателе, возьмем самый большой $\sqrt{5}$, для этого как и в предыдущем примере умножим числитель и знаменатель на $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5} }{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}}$

$\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5} } = \frac{1 * (\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5})}{(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}) * (\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}) }$

Раскроем скобки используя формулу разности квадратов:

(a + b)(a -b) = a^2 - b^2

$\frac{1 * (\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5})}{(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}) * (\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}) } = \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5})}{((\sqrt{2} + \sqrt{3}) + \sqrt{5}) * ((\sqrt{2} + \sqrt{3}) - \sqrt{5}) } = \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5})}{(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 - 5}$

Раскроем квадрат суммы:

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5})}{(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 - 5} = \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5})}{2 + 2\sqrt{6} + 3 - 5} = \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5})}{2\sqrt{6}}$

Для того что бы избавиться от корня 6 снова умножим Числитель и знаменатель на $\sqrt{6}$

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5})}{2\sqrt{6}} * \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}) * (\sqrt{6})}{2\sqrt{6} * (\sqrt{6})}$

Раскрываем скобки

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}) * (\sqrt{6})}{2\sqrt{6} * (\sqrt{6})} = \frac{\sqrt{12} + \sqrt{18} - \sqrt{30}}{2 * 6} = \frac{2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} - \sqrt{30}}{12}$