Question

#99-100. Объясните тупому мне, как вынести из под корня/внести под корень, если есть определенное условие (например, а>0 и т.д.). Мне нужно именно ОБЪЯСНЕНИЕ, ведь не понимаю принцип и постоянно теряю или не ставлю "минус". Просьба разобрать так каждый пример, соответственно, даю кучу баллов (НО ГЛАВНОЕ - ПОЯСНЕНИЯ).​

Answer 1

Ответ:

99)   Правило:  $\boxed{\ \sqrt{a^2}=|a|\ \ \ ,\ \ \ \sqrt[2n]{a^{2n}}=|a|\ }$   .

При извлечении квадратного корня или корня чётной степени ( 2n - обозначение чётного числа ) из  а²  (или  $a^{2n}$ ) надо не забыть поставить модуль, ведь сам корень чётной степени может быть только неотрицательным . А модуль любого выражения тоже неотрицателен . Причём, если выражение под модулем неотрицательно, то модуль равен самому этому выражению. Если выражение под модулем отрицательно, то модуль равен этому выражению, взятому с противоположным знаком.

             $|a|=\left\{\begin{array}{l}a\ ,\ esli\ a\geq 0\ ,\\-a\ ,\ esli\ a<0\ .\end{array}\right\qquad |a|\geq 0$

Например,  $|\underbrace{3}_{>0}|=3\ \ ,\ \ \ |\underbrace{-3}_{<0}|=-(-3)=3$  .  Как видим, в любом

случае получаем модуль, равный неотрицательному числу .

$1)\ \ a\geq 0\ \ ,\ \ \sqrt{8a^5}=\sqrt{4\cdot a^4\cdot 2a}=\sqrt4\cdot \sqrt{(a^2)^2}\cdot \sqrt{2a}=2\cdot |\underbrace{a^2}_{\geq 0}|\cdot \sqrt{2a}=\\\\=2\cdot a^2\cdot \sqrt{2a}$

$2)\ \ b\leq 0\ \ ,\ \ \sqrt{\dfrac{2}{9}\, b^2}=\dfrac{\sqrt2}{\sqrt9}\cdot \sqrt{b^2}=\dfrac{\sqrt2}{3}\cdot |\underbrace{b}_{\leq 0}|= \dfrac{\sqrt2}{3}\cdot (-b)=-\dfrac{\sqrt2}{3}\cdot b\\\\\\3)\ \ a<0\ ,\ b<0\ \ ,\ \ \sqrt{27a^3b^3}=\sqrt{9a^2b^2\cdot 3ab}=3|\underbrace{a}_{<0}|\cdot |\underbrace{b}_{<0}|\cdot \sqrt{3ab}=\\\\=3\cdot (-a)\cdot (-b)\cdot \sqrt{3ab}=3ab\sqrt{3ab}$

$4)\ \ a<0\ ,\ b>0\ ,\ \ \ \sqrt{0,32a^2b^3}=\sqrt{0,16a^2b^2\cdot 2b}=0,4\cdot |\underbrace{a}_{<0}|\cdot |\underbrace{b}_{>0}|\cdot \sqrt{2b}=\\\\=0,4\cdot (-a)\cdot b\cdot \sqrt{2b}=-0,4ab\, \sqrt{2b}$

$5)\ \ a<0\ ,\ b<0\ ,\ \ \ \sqrt{16a^3b^5}=\sqrt{16a^2b^4\cdot ab}=4\cdot |\underbrace{a}_{<0}|\cdot |\underbrace{b^2}_{>0}|\cdot \sqrt{ab}=\\\\=4\cdot (-a)\cdot b^2\cdot \sqrt{ab}=-4ab^2\, \sqrt{ab}\\\\\\6)\ \ a\geq 0\ ,\ b\leq 0\ ,\ \ \sqrt{\dfrac{1}{9}\, a^5b^6}=\dfrac{1}{3}\cdot \sqrt{(a^2)^2\cdot a\cdot (b^3)^2}=\dfrac{1}{3}\cdot |\underbrace{a^2}_{\geq 0}|\cdot |\underbrace{b^3}_{\leq 0}|\cdot \sqrt{a}=\\\\=\dfrac{1}{3}\cdot a^2\cdot (-b^3)\cdot \sqrt{a}=-\dfrac{1}{3}\, a^2\, b^3\, \sqrt{a}$

P.S.  Обратите внимание, что в 5 примере  b<0 , но под модулем записан  b² , который несмотря на отрицательное  b  всё равно будет положительным, и тогда   $|b^2|=b^2$ .

В 6 примере, так как  b≤0 , нечётная степень b тоже будет неположительной, тогда  если   $b^3\leq 0\ \ \to \ \ |b^3|=-b^3$ .

100)  Если  $a\geq 0$  ,  то   $a=\sqrt{a^2}\ \ ,\ \ a=\sqrt[2n]{a^{2n}}$  .

Если  $a<0$  , то   $a=-\sqrt{a^2}\ \ ,\ \ a=-\sqrt[2n]{a^{2n}}$  .

$1)\ \ x>0\ ,\ \ x\sqrt2=\sqrt{x^2}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{2x^2}\\\\2)\ \ x<0\ ,\ \ x\sqrt2=-\sqrt{x^2}\cdot \sqrt{2}=-\sqrt{2x^2}\\\\3)\ \ a\leq 0\ ,\ \ -a\sqrt{3}=\underbrace{-(-}_{+}\sqrt{a^2})\cdot \sqrt{3}=\sqrt{3a^2}\\\\4)\ \ a\geq 0\ ,\ \ -a\sqrt{3}=-\sqrt{a^2}\cdot \sqrt{3}=-\sqrt{3a^2}\\\\5)\ \ a<0\ ,\ b>0\ ,\ \ \underbrace{a^2}_{>0}\cdot \ b\cdot \sqrt{b}=\sqrt{(a^2)^2\cdot b^2\cdot b}=\sqrt{a^4\, b^3}$

$6)\ \ a<0\ ,\ b\leq 0\ ,\ \ \underbrace{a^3}_{<0}\cdot\ b\, \sqrt{-b}=-\sqrt{(a^3)^2}\cdot (-\sqrt{b^2})\cdot \sqrt{-b}=\sqrt{a^6\, b^2\cdot (-b)}=\\\\=\sqrt{-a^6\, b^3}$

Заметь, что все выражения под знаком квадратного корня или корня чётной степени неотрицательны ! И когда мы внесли под корень множители, получившиеся выражения должны быть неотрицательными .

Например, в 6 примере:  

$a<0\ \to \ \ a^6>0\ \ ;\ \ b\leq 0\ \ \to \ \ b^2\geq 0\ \ ;\ \ b\leq 0\ \ \to \ \ (-b)\geq 0\ \ ;\\\\togda\ \ a^6\, b^2\, (-b)=-a^6b^3\geq 0$