Question

Решить систему уравнений: $\displaystyle \left \{ {{y*x^{log_{y} x} =x^{2,5} } \atop {log_{3}y }*log_{y}(y-2x)=1 } \right. .$

Answer 1

ОДЗ: x>0; y>0; y≠1; y>2x.

Преобразуем второе уравнение:

$\dfrac{\log_y(y-2x)}{\log_y3}=1;\ \log_3(y-2x)=1; y-2x=3; y=2x+3$

(мы дважды воспользовались формулой перехода к другому основанию). Прологарифмируем первое уравнение по основанию y:

$1+\log_yx^{\log_yx}=2,5\log_yx;\ 1+\log_y^2x=2,5\log_yx;\ t=\log_yx;$

$t^2-2,5t+1=0.$

Можно было бы спокойно решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта, но это скучно. Поступлю не самым простым образом. Очевидно. что  t≠0. Делим уравнение на t и записываем его в виде

$t+\dfrac{1}{t}=2+\dfrac{1}{2},$ что сразу подсказывает решения t=2 и $t=\dfrac{1}{2}.$ Других решений быть не может - все-таки у нас квадратное уравнение!

1) t=2; $\log_yx=2; x=y^2;\ (y-3)/2=y^2; 2y^2-y+3=0; D<0\Rightarrow$ решений нет.

2) $t=\dfrac{1}{2}\Rightarrow x=\sqrt{y};\ x^2=2x+3; x=3$ (отрицательный корень отбрасываем по ОДЗ); y=9. На всякий случай делаем проверку подстановкой в уравнение и выписываем ответ.

Ответ: (3;9)