Натуральное число , которое больше 1 и меньше 100, не делится нацело ни на одно из чисел 2, 3, 5 и 7. Верно ли, что число - простое? Ответ обоснуйте. Помогите
Ответы
Простое число - число, которое имеет только 2 делителя: 1 и самое себя
число не делится нацело ни на одно из чисел 2, 3, 5 и 7, значит не делится на 2*2 = 4 , 2*3 = 6, 2*2*2 = 8, 3*3=9, 2*5 = 10
то есть число нацело не делится на числа первой десятки, и так как оно меньше 100
то число делится только на 1 и на самого себя (11, 17, 23 ... итд)
Ответ:
Да
Пошаговое объяснение:
Если число не делится ни на одно простое число меньшее чем само это число то оно не делится и на составные. Это очевидно. В данном задании требуется доказать, что заданное число не делится на простые числа большие чем 7 и меньшие чем 100.
Доказательство:
Предположим, что наше число a делится на простое число b и не делится ни на одно из чисел 2, 3, 5, 7
7<b<a, a делится на b
Рассмотрим число c=(a/b), которое так же будет делителем числа a
a делится на b, c=(a/b)⇒c∈N
7<b⇒11≤b⇒c=(a/b)<100/11<10
b<a⇒c=(a/b)≥2
1<c<10
А это значит что число a имеет ещё один делитель, который больше чем 1 и меньше чем 10. Но любое число из данного интервала делится по крайней мере на одно из чисел 2, 3, 5 и 7. Из чего следует, что и число a обладает этим свойством.
Получили противоречие. Значит наше предположение не верно.
P.S.
Если натуральное число n>1 не делится ни на одно простое число не превышающее число [√n] , то оно простое. [x]-наибольшее целое число не превышающее число x.