Question

Примеры по тригонометрии.

Answer 1

10.  $\dfrac{33\pi}{5} =6\pi+\dfrac{3\pi}{5}=6\pi+\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{10}\Rightarrow \arcsin(\cos \dfrac{33\pi}{5})=\arcsin(\sin (-\dfrac{\pi}{10}))=-\dfrac{\pi}{10}$ (здесь важно, что $-\dfrac{\pi}{10}\in[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}].$)

Ответ: $-\dfrac{1}{10}.$

11. ${\rm arctg}\, 2=\arccos \dfrac{1}{\sqrt{5}};\ {\rm arctg}\, 3=\arcsin\dfrac{3}{\sqrt{10}}=\arccos \dfrac{1}{\sqrt{10}}.$

Я это получил так (скажем, во втором случае): нарисовал прямоугольный треугольник с катетами 3 и 1 (тогда тангенс угла α, лежащего против катета, равного 3, будет равен 3, то есть α равен арктангенсу трех), гипотенуза вычисляется по теореме Пифагора и равна корню из 10, поэтому sin α=3/√(10), cosα=1/√(10). Поэтому

$\cos(2\,{\rm arctg}\, 2)=2\cos^2(\arccos\dfrac{1}{\sqrt{5}})-1=\dfrac{2}{5}-1=-\dfrac{3}{5};$

$\sin(4\alpha)=2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)=4\sin\alpha\cos\alpha(2\cos^2\alpha-1)=$

$=4\cdot\dfrac{3}{\sqrt{10}}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{10}}\cdot(\dfrac{2}{10}-1)=-\dfrac{96}{100}=-\dfrac{24}{25}.$

Осталось вычислить разность между полученными числами:

$-\dfrac{3}{5}-\left(-\dfrac{24}{25}\right)=\dfrac{9}{25}.$

Ответ: $\dfrac{9}{25}.$