Question

$\displaystyle\\\left \{ {\Big{x+y+z=1}\atop \Big{x^2+y^2+z^2=2}} \atop {x^3+y^3+z^3=3}} \right.$
$\Bigg{x^4+y^4+z^4=?}$

Answer 1

Хорошая задача, подвигающая на теоретические выкладки. Итак, тема - системы симметрических уравнений. Случай, когда переменных две, хорошо известен. Многочлен P(x,y) называется симметрическим, если P(x,y)=P(y,x) для любых x и y (это равносильно тому, что коэффициенты при $x^ky^m$    и $x^my^k$ совпадают). Зачастую в случае, когда оба уравнения в системе симметричны, полезно делать замену  x+y=u; xy=v. Любой симметрический многочлен относительно  x и  y можно выразить через u и v. Это следует из следующей рекуррентной формулы: если $P_n(x,y)=x^n+y^n,$ то

                           $P_n(x,y)=(x+y)P_{n-1}-xyP_{n-2}$  $(n\ge 2).$

Иными словами,    $P_n=uP_{n-1}-vP_{n-2}.$

Например,

$x^5y^2+x^2y^5=x^2y^2P_3(x,y)=v^2(uP_2(x,y)-vP_1(x,y))=$

$v^2(u(u^2-2v)-uv)=u^3v^2-3uv^3.$

Переходим к случаю трех переменных. Многочлен P(x,y,z) называется симметрическим, если P(x,y,z)=P(x,z,y)=P(y,x,z)=P(y,z,x)=P(z,x,y)=P(z,y,x). В случае системы симметрических уравнений бывает полезна (только не надо воспринимать это как догму) следующая замена:

               x+y+z=u; xy+yz+zx=v; xyz=w

Любой симметрический многочлен относительно x, y, z можно выразить через u, v  и w. Например, $P_1(x,y,z)=x+y+z=u;\ P_2(x,y,z)=x^2+y^2+z^2=u^2-2v;$

$P_3(x,y,z)=x^3+y^3+z^3=u^3-3uv+3w.$

Выведем рекуррентную формулу для $P_n(x,y,z)=x^n+y^n+z^n\ \ \ \ (n\ge 3).$

$P_n=(x+y+z)P_{n-1}-x(y^{n-1}+z^{n-1})-y(x^{n-1}+z^{n-1})-z(x^{n-1}+y^{n-1})=$

$=uP_{n-1}-xy(y^{n-2}+x^{n-2})-xz(z^{n-2}+x^{n-2})-yz(z^{n-2}+y^{n-2})=$

$=uP_{n-1}-(xy+xz+yz)(x^{n-2}+y^{n-2}+z^{n-2})+xyz^{n-2}+xzy^{n-2}+yzx^{n-2}=$

$=uP_{n-1}-vP_{n-2}+xyz(x^{n-3}+y^{n-3}+z^{n-3})=uP_{n-1}-vP_{n-2}+wP_{n-3}.$

Итак,              $P_n=uP_{n-1}-vP_{n-2}+wP_{n-3}.$

Думаю, что любой человек, увидев рекуррентные формулы в случае двух и трех переменных, сумеет выдвинуть гипотезу для аналогичной формулы для случая произвольного числа переменных. Возьмется кто-нибудь за доказательство такой формулы? А может быть она в общем случае и не имеет места?

Для проверки выведенной формулы вычислим  $P_3:$

$P_3=uP_2-vP_1+wP_0=u(u^2-2v)-vu+3w=u^3-3uv+3w$ - получилась формула, написанная ранее.

Теперь предложенная задача   становится тривиальной: x+y+z=u=1;

$x^2+y^2+z^2=u^2-2v=1-2v=2\Rightarrow v= -\frac{1}{2};$

$x^3+y^3+z^3=u^3-3uv+3w=1+\frac{3}{2}+3w=3\Rightarrow w=\frac{1}{6}.$

$x^4+y^4+z^4=P_4=uP_3-vP_2+wP_1=1\cdot 3-(-\frac{1}{2})\cdot 2+\frac{1}{6}\cdot 1=\frac{25}{6}.$

Ответ:  $\dfrac{25}{6}.$