Question

Найти пределы функции

Answer 1

Ответ:

$1)\ \ \lim\limits_{x \to 0}\Big(\dfrac{3+5x}{3+2x}\Big)^{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{x \to 0}\Big(\dfrac{5}{2}\Big)^{\frac{1}{x}}=\left\{\begin{array}{l}+\infty \ ,\ x\to +0\\0\ ,\ \ x\to -0\end{array}\right\\\\\\2)\ \ \lim\limits_{x \to \infty }\Big(\dfrac{5-x}{6-x}\Big)^{x+2}=\lim\limits_{x \to \infty }\Big(\Big(1+\dfrac{1}{x-6}\Big)^{x-6}\Big)^{\frac{x+2}{x-6}}=e^{\lim\limits_{x \to \infty }\frac{x+2}{x-6}}=e^1=e$

$3)\ \ \lim\limits_{x \to 0}(1-sinx)^{\frac{1}{sinx}}=\lim\limits_{x \to 0}\Big(1+(-sinx)\Big)^{\frac{1}{-sinx}}\Big)^{-1}=e^{-1}$

$4)\ \ \lim\limits_{x \to 2}\dfrac{e^{x}-e}{x-2}=\lim\limits_{x \to 2}\dfrac{e^2\, (e^{x-2}-1)}{x-2}=\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{e^2\, (x-2)}{x-2}=e^2\\\\\\5)\ \ \lim\limits_{x \to e}\dfrac{lnx-1}{x-e}=\lim\limits_{x \to e}\dfrac{\frac{1}{x}}{1}=\lim\limits_{x \to e}\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{e}$

$6)\ \ \lim\limits_{x \to \infty }\, x\, (ln(x+3)-lnx)=\lim\limits_{x \to \infty }\, x\cdot ln\dfrac{x+3}{x}=\lim\limits_{x \to \infty }\, x\cdot ln\Big(1+\dfrac{3}{x}\Big)=\\\\\\=\lim\limits_{x \to \infty }\, ln\Big(1+\dfrac{3}{x}\Big)^{x}=ln\, \lim\limits_{x \to \infty }\Big(1+\dfrac{3}{x}\Big)^{x}=ln\, \lim\limits_{x \to \infty }\Big(\Big(1+\dfrac{3}{x}\Big)^{\frac{x}{3}}\Big)^{3}=ln\, e^3=3$