Question

По кругу написано двадцать целых чисел, сумма которых равна 5. Лёня посчитал и выписал на бумажку все возможные суммы из десяти подряд идущих чисел (всего двадцать сумм). Наибольшая из этих сумм оказалась равна 8. Какое наибольшее количество различных чисел может быть записано у Лёни?

Решить, пожалуйста, с пояснением

Answer 1

Ответ:

$12$ (это правильно, я тоже Сириус решаю)

Пошаговое объяснение:

Пронумеруем числа $1$, $2$, $3$, ..., $20$

Пусть $i$ - ая группа состоит из чисел с номерами $(i-1)\mod20+1$, $i\mod20+1$, $(i+1)\mod20+1$, ..., $(i+8)\mod20+1$ (здесь $\mod$ - взятие остатка, $j$ - ое число в $i$ - ой группе имеет номер $(i+j-2)\mod20+1$, $1\leqslant j \leqslant 10$, $1 \leqslant i \leqslant 20$). К примеру:

1-ая группа: числа $1$, $2$, ..., $10$

2-ая группа: числа $2$, $3$, ..., $11$

...

20-ая группа: числа $20$, $1$, ..., $9$

Пусть $a_i$ - сумма чисел в $i$ - ой группе. Поскольку все числа целые, их сумма будет также целая, значит, $\forall i\in[1,~20]$: $a_i\in\mathbb{Z}$. Заметим, что сумма всех чисел является суммой чисел в $i$-ой и в $(i+9)\mod20+1$, значит, $a_i+a_{(i+9)\mod20~+1}=5$. Если $a_k=8$, то есть $\forall i\in [1,~k)\cup(k,20]$: $a_i \leqslant a_k$ ⇒$-a_i \geqslant -a_k\Rightarrow 5-a_i \geqslant5-a_k$. Поскольку $5-a_i=a_{(i+9)\mod20~+1}$ и $5-a_k=a_{(k+9)\mod20~+1}$, постольку $a_{(i+9)\mod20~+1}\geqslant a_{(k+9)\mod 20 ~+1}$. Поэтому $a_{(k+9)\mod20~+1}$ - минимальное число (все остальные числа не меньше $a_{(k+9)\mod20~+1}$ (а именно все, потому что в виде $(i+9)\mod20~+1$ представляются все числа от 1 до 20 при $i\in[1,~20]$) ). А также $a_{(k+9)\mod20~+1} =5-a_k=5-8=-3$. В итоге $\forall i\in[1,~20]$: $a_{(k+9)\mod20~+1}\leqslant a_i \leqslant a_k \Leftrightarrow -3\leqslant a_i \leqslant 8$. В итоге, поскольку $\forall i\in[1,~20]$: $a_i\in \mathbb{Z} ~\wedge~a_i\in[-3,~8]$, у $a_i$ есть $8-(-3)+1=12$ вариантов значения. Значит, не более $12$ сумм различны. Для полноты картины стоило бы привести пример, но это слишком просто.