в треугольнике ABC угол А равен 55°. Серединный перпендикуляр к стороне AВ пересекает сторону АС в точке D. Доказать BC> CD.
Ответы
Ответ:
Выполним розовеньким дополнительное построение. Получились два равных треугольника. Почему они равны? По трём сторонам:
1) общая
2) срединный перпендикуляр делит на равные части
3) срединный перпендикуляр совпадает с медианой
Равны они значит.
Также они образуют один большой равнобедренный треугольник BAD. Он такой в связи с тем, что по доказанному BD and AD равны. Следовательно углы при основании тоже равны, то есть по 55 градусов.
А теперь посмотрим на угол BDС! Он и угол BDA смежные => дают в сумме 180 градусов, как и сумма углов треугольника. Вспоминаем теорему о прилежащем угле, гласящая, что прилежащий угол равен сумме двум не смежных с ним и получаем, что угол BDC равен 110 градусам!
Теперь же вспомним, как взаимосвязаны величины углов и противолежащих сторон. Правильно! Чем больше угол, тем больше противолежащая сторона! Если угол BDC = 110 градусам, то угол DBC, (противолежащие сторонам BC and DC соответственно) меньше 180-110=70 градусов и следовательно противолежащая сторона будет меньше.