Question

Исследовать функцию y=4x^4-6x^3 и построить график функции (с подробным решением пожалуйста)

СРОЧНО!

Answer 1

Объяснение:

$\displaystyle y=4x^4-6x^3$

1) ОДЗ: х∈R

2) Четность, нечетность:

$\displaystyle y(-x)=4*(-x)^4-6(-x)^3=4x^4+6x^3\\y(-x)\neq y(x)\neq -y(x)$

⇒ функция не является четной или нечетной, то есть общего вида.

3) Нули функции (значения аргумента при которых функция равна нулю):

$\displaystyle 4x^4-6x^3=0\\2x^3(2x-3)=0\\x_1=0;\;\;\;\;\;x_2=1,5$

4) Функция непрерывна, асимптот нет.

5) Возрастание, убывание:

Найдем производную, приравняем ее к нулю, найдем корни и отметим их на числовой оси. Определим знаки производной на промежутках. Если положительна - функция возрастает, отрицательна - убывает.

$\displaystyle y'(x)=4*4x^3-6*3x^2=16x^3-18x^2=2x^2(8x-9)\\\\x_1=0;\;\;\;\;\;x=\frac{9}{8}$

(см.рис)

Функция убывает при х∈(-∞; 9/8], возрастает при х∈[9/8; +∞)

$\displaystyle x_{min}=\frac{9}{8}\\\\y_{min}=y\left(\frac{9}{8}\right)\approx -2,14$

6) Выпуклость, вогнутость:

Найдем вторую производную, приравняем ее к нулю, найдем корни и отметим их на числовой оси. Определим знаки второй производной на промежутках. Если положительна - функция вогнута, отрицательна - выпукла.

$\displaystyle y''(x)=16*3x^2-18*2x=48x^2-36x=12x(4x-3)\\x_1=0;\;\;\;\;\;x_2=0,75$

(см. рис)

$\displaystyle y_{per}=y(0)=0;\;\;\;y_{per}=y(0,75)\approx -1,27$