Question

Вычислите сумму, разность, произведение и частное чисел z1=2 + 3i и z2=5 – 7i.

Answer 1

Ответ:

сумма                 z = 7 - 4i

разность            z = -3 + 10i

произведение  z = 31 + i

частное              $\displaystyle \boldsymbol {z=-\frac{11}{74} +\frac{29}{74} i}$

Объяснение:

• Сумма комплексных чисел, записанных в алгебраической форме,  представляет собой комплексное число, действительная часть которого равна сумме действительных частей , а мнимая часть - сумме мнимых частей чисел
• z = (a₁ + a₂) + (b₁ + b₂) i.

В нашем случае

(2 + 3i) + (5 - 7i) = (2 + 5) + (3 - 7)i = 7 - 4i

• Разность комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, представляет собой комплексное число, действительная часть которого и коэффициент при мнимой части равны соответственно разности действительных частей и разности коэффициентов при мнимой части уменьшаемого и вычитаемого.

• z = (a₁ - a₂) + (b₁ - b₂) i.

В нашем случае

(2 + 3i) - (5 - 7i) = (2 - 5) + (3 + 7)i = -3 + 10i

• Произведение двух комплексных, чисел записанных в алгебраической форме, представляет собой комплексное число , равное

• z₁ * z₂ = (a₁a₂ - b₁b₂) + (a₁b₂ +b₁a₂)i

В нашем случае

$\displaystyle (2 + 3i) * (5 - 7i) = \bigg(2*5 - 3*-(7)\bigg )+ \bigg(2*(-7)) +3*5\bigg) i\it=\underline {31 + i}$

• Частное двух комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, представляет собой комплексное число , равное

• $\displaystyle z=\frac{a_1a_2+b_1b_2}{a_2^2+b_2^2} +\frac{a_2b_1-a_1b_2}{a_2^2+b_2^2} i$

На практике, чтобы не возиться с этими коэффициентами, делают так ( считаем для нашего случая):

1. Умножают оба числа на число, комплексно сопряженное делителю, после чего делитель становится действительным числом.

$\displaystyle \frac{2+3i}{5-7i} = \frac{2+3i}{5-7i} *\frac{5+7i}{5+7i} =\frac{( 2+3i)( 5+7i)}{25-49i^2}=\frac{( 2+3i)( 5+7i)}{25+49}$

2. Дальше в числителе  перемножаем комплексные числа как алгебраические двучлены, учитывая, что i² = -1.

$\displaystyle \frac{( 2+3i)( 5+7i)}{25+49}=\frac{10+14i +15i+21i^2}{74} =\frac{-11+29i}{74} =\it \underline {-\frac{11}{74} +\frac{29}{74} i}$

#SPJ1