10 - 11 классы
Срочно!!! в основании параллелепипеда лежит квадрат со стороной 4 см. один из диагональных сечений параллелепипеда перпендикулярно плоскости основания и имеет площадь 32 см2. найти площадь второго диагонального сечения, если боковое ребро образует со сторонами основания равные углы по 60 °.
Ответы
Боковое ребро AA1 образует со сторонами основания AB и AD равные углы 60.
Возьмем на ребре AA1 точку T и опустим перпендикуляры на стороны: TK⊥AB, TN⊥AD
△TAK=△TAN по гипотенузе и острому углу => AK=AN
Опустим перпендикуляр TH на плоскость основания.
По теореме о трех перпендикулярах HK⊥AB, HN⊥AD
AKHN - квадрат
Диагональ AH квадрата AKHN лежит на диагонали AC квадрата основания. Перпендикуляр из T падает на AC, следовательно перпендикуляр из A1 - высота призмы - также падает на AC.
Пусть AN=1, тогда AT=AN/cos60=2, AH=AN/cos45=√2
=> cosTAH =AH/AT =√2/2 => ∠TAH=45 =∠A1AC
Диагональное сечение AA1C1C содержит высоту, следовательно перпендикулярно основанию.
S(AA1C1C) =AC*h (h - высота из A1)
32 =4√2*h => h =4√2
(Поскольку высота из A1 образует с вершиной A треугольник c углами 45, 90 - равнобедренный - видим, что она падает в точку С.)
AA1 =h/sin45 =4√2*√2 =8 =BB1
AC⊥BD (диагонали квадрата) => AA1⊥BD (т о трех перпендикулярах)
=> BB1⊥BD, BB1D1D - прямоугольник
S(BB1D1D) =BB1*BD =8*4√2 =32√2 (см^2)
