Question

Пример на фотке очень прошу с обьяснением

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4(4n+1)}$

Пошаговое объяснение:

Попробуем представить дробь в виде суммы двух дробей:

$\dfrac{1}{(4n-3)(4n+1)}=\dfrac{A}{4n-3}+\dfrac{B}{4n+1}|\cdot(4n-3)(4n+1)\\1=A(4n+1)+B(4n-3)\\1=4An+A+4Bn-3B\\(4A+4B)n+A-3B=1$

В правой части нет членов с буквой n, то есть коэффициент перед n равен нулю, а свободный член равен одному:

$\displaystyle\left \{ {{4A+4B=0,} \atop {A-3B=1}} \right.\\\left \{ {{A=-B,} \atop {A+3A=1}} \right.\\\left \{ {{B=-\dfrac{1}{4},} \atop {A=\dfrac{1}{4}}} \right.$

Значит, $\dfrac{1}{(4n-3)(4n+1)}=\dfrac{1}{4(4n-3)}-\dfrac{1}{4(4n+1)}$

Таким образом, сумму можно представить, как

$\dfrac{1}{1\cdot5}+\dfrac{1}{5\cdot9}+...+\dfrac{1}{(4n-7)(4n-3)}+\dfrac{1}{(4n-3)(4n+1)}=\\=\dfrac{1}{4\cdot1}-\dfrac{1}{4\cdot5}+\dfrac{1}{4\cdot5}-\dfrac{1}{4\cdot9}+\dfrac{1}{4\cdot9}-...+\dfrac{1}{4(4n-7)}-\dfrac{1}{4(4n-3)}+\\+\dfrac{1}{4(4n-3)}-\dfrac{1}{4(4n+1)}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4(4n+1)}$