Question

Существуют ли A, B, C такие, что:
A ∩ B != ∅
A ∩ C = ∅
(A ∩ B) \ C = ∅

Answer 1

ОТВЕТ: Нет

РЕШЕНИЕ:

Пусть такие множества существуют.

1) $A\cap B\neq \O,A\cap C=\O\Rightarrow (A\cap B)\cap (A\cap C)=\O$

Упростим левую часть:

$(A\cap B)\cap (A\cap C)=A\cap B\cap A\cap C=A\cap B\cap C$

Т.е. $A\cap B\cap C=\O$

2) $(A\cap B)\backslash C=\O \Leftrightarrow (A\cap B)\cap\overline{C}=\O \Leftrightarrow A\cap B\cap\overline{C}=\O$

3) Но тогда $(A\cap B\cap C)\cup(A\cap B\cap\overline{C})=\O\cup \O \Leftrightarrow (A\cap B)\cap\underbrace{(C\cup\overline{C})}_{\rm{U}}=\O \Leftrightarrow A\cap B=\O$ ,

где $\rm{U}$ - универсальное множество.

Противоречие с тем, что $A\cap B\neq \O$