Question

Клетчатый квадрат 17 × 17 разрезали на прямоугольники по линиям сетки.
Докажите, что найдется прямоугольник, у которого обе стороны нечетные.

Answer 1

Пусть прямоугольника, у которого обе стороны нечетны - не существует, тогда у нас могут существовать такие прямоугольники, где a, b стороны

1) a - четное, b - четное

2) a - нечетное, b - чётное

Заметим такой факт:

Произведение четного числа на чётное, и чётного числа на нечетное - чётное число, таким образом, площади наших прямоугольников - чётны, так как они равны a * b.

Площадь нашего квадрата 17 * 17 - нечетное число. Нечетное число не делится на чётное, противоречие. Значит точно существует прямоугольник с двумя нечетными сторонами, поскольку только у него площадь - нечетна