Question

Решите уравнение
$\displaystyle\bf\\\Bigg(\frac{x+8}{16} \Bigg)^3=\sqrt[3]{x}-1$

Answer 1

Ответ:

$8;8\cdot (-2\pm\sqrt{5})$

Объяснение:

$\left(\dfrac{x+8}{16}\right)^3=\sqrt[3]{x}-1\\ \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{x}{8}+\dfrac{1}{2}\right)^3+\dfrac{1}{2}=\sqrt[3]{\dfrac{x}{8}}\\ \left(\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}\cdot \underbrace{\dfrac{x}{8}}_{t}+\dfrac{1}{2}\right)^3+\dfrac{1}{2}\right)^3=\underbrace{\dfrac{x}{8}}_{t}\\ \left(\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2} t+\dfrac{1}{2}\right)^3+\dfrac{1}{2}\right)^3=t$

Рассмотрим $f(x)=\left(\dfrac{1}{2} x+\dfrac{1}{2}\right)^3$.

$f'(x)=\dfrac{3}{2}\left(\dfrac{1}{2} x+\dfrac{1}{2}\right)^2\geq 0$ - значит, функция монотонно возрастает.

При этом уравнение приведено к виду $f(f(t))=t$. Но тогда оно равносильно $f(t)=t$:

$\left(\dfrac{1}{2} t+\dfrac{1}{2}\right)^3=t\\ (t+1)^3=2^3t\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$

Очевидно, $t=1$ является корнем $(1)$. Тогда $x=8$.

Раскроем скобки в (1) и разделим на $(t-1)\neq 0$:

$t^3+3t^2-5t+1=0\\ t^2(t-1)+4t(t-1)-(t-1)=0\\ t^2+4t-1=0$

$t=\dfrac{-4\pm\sqrt{16+4}}{2}=-2\pm\sqrt{5}$

Но тогда $x=8\cdot (-2\pm\sqrt{5})$