Question

Алгебра. Даю 10 баллов. Нужно найти производную. РАСПИСАТЬ ОЧЕНЬ ПОДРОБНО С ОБЪЯСНЕНИЕМ.

Answer 1

Понадобятся формулы:

$(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)\\\\(f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)\\\\(n \cdot f(x))' = n \cdot f'(x)\\\\(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$

1) Способ первый: сначала раскрыть скобки и потом искать производную (думаю, так проще).

$f(x) = (x + 4) \cdot \sqrt{x} = x\sqrt{x} + 4\sqrt{x} = x^{3/2} + 4x^{1/2}\\\\f'(x) = (x^{3/2} + 4x^{1/2})' = (x^{3/2})' + (4x^{1/2})' = \dfrac{3}{2}x^{3/2 - 1} + 4\cdot\dfrac{1}{2}x^{1/2-1} = \dfrac{3}{2}x^{1/2} + 2x^{-1/2} = \dfrac{3\sqrt{x}}{2} + \dfrac{2}{\sqrt{x}}$

2) Способ второй: искать производную произведения функций.

$f'(x) = ((x + 4)\cdot\sqrt{x}) = (x+4)'\cdot\sqrt{x} + (x+4)\cdot(\sqrt{x})' = (x+4)'\cdot x^{1/2} + (x+4)\cdot(x^{1/2})' = 1 \cdot x^{1/2} + (x+4)\cdot\dfrac{1}{2}\cdot x^{1/2-1} = x^{1/2} + (x+4)\cdot\dfrac{1}{2}\cdot x^{-1/2} = x^{1/2} + x \cdot \dfrac{1}{2} \cdot x^{-1/2} + 4\cdot\dfrac{1}{2}\cdot x^{-1/2} = x^{1/2} + \dfrac{1}{2}\cdot x^{1/2} + 2\cdot x^{-1/2} = \dfrac{3}{2}\cdot x^{1/2} + 2\cdot x^{-1/2} = \dfrac{3\sqrt{x}}{2} + \dfrac{2}{\sqrt{x}}$