Question

$lim \frac{ {n}^{2} - n}{ {2}^{n + 1} }$
Помогите вычислить предел​

Answer 1

$0\le \frac{n^2-n}{2^{n+1}}=\frac{n(n-1)}{(1+1)^{n+1}}=\frac{n(n-1)}{1+(n+1)+\frac{(n+1)n}{2!}+\frac{(n+1)n(n-1)}{3!}+\ldots +1}<\frac{n(n-1)}{\frac{(n+1)n(n-1)}{6}}=\frac{6}{n+1}.$

Итак, $b_n=0\le a_n=\frac{n^2-n}{2^{n+1}}<c_n=\frac{6}{n+1}.$

Поскольку $\lim\limits_{n\to +\infty}b_n=\lim\limits_{n\to+\infty}c_n=0,$ то по теореме о двух правоохранителях $\lim\limits_{n\to +\infty}a_n=0.$

Ответ: 0

Замечание. В процессе выкладки мы воспользовались биномом НЬютона. Если с биномом Ньютона у Вас проблемы, можно воспользоваться правилом Лопиталя, заменив предварительно n на x.