Question

Даю 120 баллов за правильное решение с объяснением. Ребят, дело серьезное, до завтра нужно решить!
1) При каких значениях параметра один корень уравнения $x^{2} -2(a+1)x-2a+1=0$ отрицателен, а другой - положителен!
2) Параметр обозначен буквой $d$. Решите уравнение $dx^2+2x+1=0$
3) Какое наименьшее значение может принимать сумма $x^{2} + y^2$, если $2x+3y=1$

Answer 1

1) Если у уравнения есть два решения x1 и x2, то его модно записать в виде
$(x-x_1)(x-x_2)=0 Rightarrow x^2 - (x_1+x_2)x+x_1x_2=0$
Если корни имеют разные знаки, то их произведение строго отрицательно.
В нашем случае произведение корней равно 1-2a таким образом
1-2a < 0
a>0.5

2)
$d*x^2+2x+1=0\(1-d)x^2 =x^2+2x+1\(1-d)x^2=(x+1)^2$
при d>1 решений нет, т.к. левая часть равенства всегда отрицательна, а правая положительна
при d=1 - единственное решение x=-1
при d = 0 - единственное решение x = -0.5
при d<1 и d<>0 - два решения
$x_{1,2}=frac{-1pmsqrt{1-d}}{d}$

3)
$x = frac{1-3y}{2} Rightarrow x^2 = frac{9y^2-6y+1}{4} Rightarrow x^2+y^2 = frac{13y^2-6y+1}{4}$
Мининмум функции 13y^2-6y+1 достигается в точке y= 3/13
при этом из соотношения x  и y получаем, что x = 2/13
Следовательно сумма квадратов в точке минимума равна 1/13

Answer 2

Большое спасибо, очень выручили)