Question

1) На стороне ВС квадрата АВСD взята точка К такая, что угол KAD=60 градус . Отрезок КА пересекает диагональ ВD в точке Р, а биссектриса угла СКА пересекает сторону СD в точке N. Докажите, что треугольник СРN – равносторонний.
2)На клеточном листе нарисована лента 1×2013, в первой клетке которой написано число1, а в последней – число 2. Петя и Вася поочередно записывают числа в свободные клетки. Петя ходит первым и пишет только единицы, а Вася – только двойки. Когда свободные клетки заканчиваются, Петя подсчитывает количество пар соседних клеток с одинаковыми числами в них, а Вася с разными. Если Петино число больше, то выигрывает Петя, в противном случае выигрывает Вася, Кто победит при правильной игре? Обоснуйте свой вывод.
3) Найти все пары простых чисел p и q , для которых число p^3+q^2 является кубом некоторого натурального числа.

Answer 1

Ответ:

1) На стороне ВС квадрата АВСD взята точка К такая, что угол KAD=60 градус . Отрезок КА пересекает диагональ ВD в точке Р, а биссектриса угла СКА пересекает сторону СD в точке N. Докажите, что треугольник СРN – равносторонний.

2)На клеточном листе нарисована лента 1×2013, в первой клетке которой написано число1, а в последней – число 2. Петя и Вася поочередно записывают числа в свободные клетки. Петя ходит первым и пишет только единицы, а Вася – только двойки. Когда свободные клетки заканчиваются, Петя подсчитывает количество пар соседних клеток с одинаковыми числами в них, а Вася с разными. Если Петино число больше, то выигрывает Петя, в противном случае выигрывает Вася, Кто победит при правильной игре? Обоснуйте свой вывод.

3) Найти все пары простых чисел p и q , для которых число p^3+q^2 является кубом некоторого натурального числа.Пусть точки P и A лежат по одну сто­ро­ну от пря­мой CD (рис. 1). Тре­уголь­ник ADP — рав­но­бед­рен­ный (AD = DC = DP = 1), по­это­му

\angle DAP= дробь, чис­ли­тель — 1, зна­ме­на­тель — 2 (180{} в сте­пе­ни circ минус \angle ADP)=

= дробь, чис­ли­тель — 1, зна­ме­на­тель — 2 (180{} в сте­пе­ни circ минус (90{} в сте­пе­ни circ минус 60{} в сте­пе­ни circ ))=75 в сте­пе­ни circ.

Пусть DH — вы­со­та тре­уголь­ни­ка ADP. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ADH на­хо­дим, что

DH=AD синус \angle DAH=1 умно­жить на синус 75{} в сте­пе­ни circ = ко­си­нус 15{} в сте­пе­ни circ = дробь, чис­ли­тель — ко­рень из { 6} плюс ко­рень из { 2}, зна­ме­на­тель — 4 .

Пусть те­перь точки P и A лежат но раз­ные сто­ро­ны от пря­мой CD (рис. 2). Тре­уголь­ник ADP — рав­но­бед­рен­ный (AD = DC = DP = 1), по­это­му дробь, чис­ли­тель — ко­рень из { 6} плюс ко­рень из { 2}, зна­ме­на­тель — 4 или дробь, чис­ли­тель — ко­рень из { 6} минус ко­рень из { 2}, зна­ме­на­тель — 4 .