Question

1 .В параллелограмме ABCD проведены перпендикуляры BE и DF к диагонали AC. Докажите, что отрезки BF и DE параллельны.
2. Биссектриса углов А и В параллелограмма ABCD пересекаются в точке F стороны CD. Докажите, что F-середина CD.
3.Сторона АD параллелограмма АВСD вдвое больше стороны CD. Точка М- середина стороны AD. Докажите, что СМ—биссектриса угла ВCD.

Answer 1

1. ∆ ABE=∆CDF (треугольники прямоугольные ABE и CDFравны, так как гипотенузы AB = CD и острые углы, угол BAE и угол DCF равны)

Следовательно:

BE = DF

BE || DF, (BE паралельны DF, так как являются пер­пен­ди­ку­ля­рыами к одной пря­мой)

2. AF - биссектриса ∟А, тогда, ∟КAF = ∟ВAF, ∟ВAF = ∟AFD - как внутренние накрест лежащие при параллельных АВ и СD и секущей AF, значит ∟КAF = ∟AFD. ∆ AFD - равнобедренный, AD = FD. Аналогичная ситуация с ∆ ВFС, ВС = FС. AВСD - параллелограмм, поэтому AD = ВС, следовательно FD = FС, F - средина СD

3. Проведём FM параллельно AB (см. рисунок). Тогда CD = AM = MD. Следовательно, параллелограмм DCFM является ромбом. Диагональ CM ромба DCFM является биссектрисой угла BCD.