У Пети есть чёрный ящик, в который можно кидать трёхзначный числа. Чёрный ящик складывает две первые цифры числа и две последних, а затем, если получившиеся число различные, записывает их в порядке возрастания и выбрасывает наружу получившиеся число. Если же числа одинаковые, то чёрный ящик выбрасывает 0. Петя бросил в ящик своё любимое трёхзначное число и обнаружил, что результат так же трёхзначный. Кинув получившиеся трёхзначное число в ящик, Петя получил любимое трёхзначное число своей сестры Ани. На какую цифру может заканчиваться любимое число Ани? Приведите все возможные примеры.
(Помогите, пожалуйста, кучу времени думаю, ничего не выходит)
Ответы
Подумал-подумал, ничего не понял. Составил программу, производящую указанные преобразования, посмотрел сначала полный список полученных чисел (и промежуточных сумм и чисел), затем- только для чисел, подходящих по условиям задачи. Тогда, понемногу дошло:
Сначала мы имеем трёхзначное (от 100 до 999) число вида:
abc
где a,b,c -это цифры, составляющие это число
Эти цифры должны быть в таком диапазоне:
1 ≤ a ≤ 9; 0 ≤ b ≤ 9; 0 ≤ c ≤ 9
Далее, производим сложение цифр по формулам:
d = a + b; e = b + c
При этом получаем числа d,e в диапазоне:
1 ≤ d ≤ 18; 0 ≤ e ≤ 18
Учитывая, что из d,e нужно составить трёхзначное число, то либо d либо e нужны однозначные.
Получаем два варианта, в которых d,e должны быть в таких диапазонах:
1) 1 ≤ d ≤ 9; 10 ≤ e ≤ 18
2) 10 ≤ d ≤ 18; 1 ≤ e ≤ 9
Далее, большее число у нас пойдёт вторым, отсюда мы получим трёхзначное число вида:
(1÷9)(10÷18)
(первая цифра от 0 до 9, вторая и третья цифры: это число от 10 до 18)
Либо, его можно записать как:
(1÷9)1(0÷8)
Это число вышло из чёрного ящика в первый раз.
Кидаем его ещё раз, и видим, что сумма двух последних цифр всегда будет однозначным числом.
А значит, чтобы получить на выходе трёхзначное число, нам нужна двузначная сумма первых двух цифр.
Отсюда получаем, что первая цифра должна быть только 9.
В результате, мы получим две суммы: 10 и (1÷9)
Потом большая из сумм отправляется в конец и мы получим трёхзначное число вида:
(1÷9)10
Это число вышло из чёрного ящика во второй раз.
Последняя его цифра- всегда ноль.
Вот, для примера эти расчёты для некоторых подходящих чисел (все не буду, их аж 81 штука).
В формате (нач.число, две суммы, выход1, две суммы, выход2 (2 раза)):
182 9 10 910 10 1 110 110
183 9 11 911 10 2 210 210
184 9 12 912 10 3 310 310
185 9 13 913 10 4 410 410
186 9 14 914 10 5 510 510
187 9 15 915 10 6 610 610
188 9 16 916 10 7 710 710
189 9 17 917 10 8 810 810
190 10 9 910 10 1 110 110
273 9 10 910 10 1 110 110
274 9 11 911 10 2 210 210
...
954 14 9 914 10 5 510 510
963 15 9 915 10 6 610 610
972 16 9 916 10 7 710 710
981 17 9 917 10 8 810 810
990 18 9 918 10 9 910 910