Question

Обозначим сумму цифр в десятичной записи числа k как S(k). Найдите максимальное значение, которое может принимать дробь вида k/S(k), если число k семизначное.

Answer 1

Ответ:

max {k / S(k)} = 1 000 000

Объяснение:

Цифра в старшем разряде не может быть равна 0, потому что в противном случае число не будет семизначным. Сначала рассмотрим случай, когда это единственная ненулевая цифра в числе k:

$\dfrac{k}{S(k)}=\dfrac{a\cdot10^6}{a}=10^6$

------

Теперь предположим, что в числе есть другие ненулевые цифры и покажем, что в этом случае значение дроби меньше 10⁶. Цифры числа k обозначим через a₆, a₅, ..., a₀.

$\dfrac{k}{S(k)} = \dfrac{a_6\cdot10^6 + a_5\cdot10^5+\dots+a_0\cdot10^0}{a_6+a_5+\dots+a_0} = 10^6\dfrac{a_6}{a_6+a_5+\dots+a_0} + 10^5\dfrac{a_5}{a_6+a_5+\dots+a_0}+\dots+10^0\dfrac{a_0}{a_6+a_5+\dots+a_0}$

Рассмотрим дробь $\dfrac{a_i}{a_6+a_5+\dots+a_0}$, где $a_i$ – одна из цифр числа k. Заметим, что $\dfrac{1}{x+y} \leq \dfrac{1}{x}$ для любых x>0 и y≥0. Тогда если мы оставим в знаменателе этой дроби только два слагаемых, одно из которых (ai) присутствует в числителе, а второе (aj) не равно нулю, будет верно неравенство:

$\dfrac{a_i}{a_6+a_5+\dots+a_0} \leq \dfrac{a_i}{a_i+a_j}$

Если $a_i=0$, то $\dfrac{a_i}{a_i+a_j}=0$. В противном случае мы можем поделить числитель и знаменатель дроби на $a_i$: $\dfrac{a_i}{a_i+a_j}=\dfrac{1}{1+a_j/a_i}$, а поскольку ai и aj – это некоторые отличные от нуля цифры, максимально возможное значение этой дроби достигается при ai=9 и aj=1: $\dfrac{1}{1+a_j/a_i} \leq \dfrac{1}{1+1/9} = \dfrac{1}{10/9} = \dfrac{9}{10}$.

Из этого следует, что $\dfrac{a_i}{a_6+a_5+\dots+a_0} \leq \dfrac{a_i}{a_i+a_j} \leq \dfrac{9}{10}$.

Теперь вернемся к исходному отношению k/S(k) при наличии хотя бы двух отличных от нуля цифр:

$\dfrac{k}{S(k)} = 10^6\dfrac{a_6}{a_6+a_5+\dots+a_0} + 10^5\dfrac{a_5}{a_6+a_5+\dots+a_0}+\dots+10^0\dfrac{a_0}{a_6+a_5+\dots+a_0} \leq 10^6\dfrac{9}{10} + 10^5\dfrac{9}{10} + \dots + 10^0\dfrac{9}{10} = 10^5\cdot9 + 10^4\cdot9 + \dots + 10^{-1}\cdot9 = 999999.9 < 10^6$

------

Таким образом, мы доказали, что максимальное значение дроби k/S(k) равно 10⁶ = 1000000 и достигается, когда все все цифры числа k, кроме первой, равны нулю.

Answer 2

Ответ: 10^6

Объяснение:

Пусть первая цифра слева семизначного числа отлична от 0 и равна a и существует еще хотя бы одна цифра отличная от 0 ( как минимум она равна 1), тогда независимо от значений остальных цифр числитель всегда будет менее чем (a+1)*10^6, а знаменатель всегда не менее чем (a+1), ибо хотя бы еще одна цифра ненулевая, таким образом, выполняется такое неравенство:

S/S(k) < (a+1)*10^6/(a+1) = 10^6.

Поскольку a>0, то a+1 >0, а значит деления на 0 не возникает.

Рассмотрим оставшийся вариант: все цифры помимо первой равны 0, а первая цифра равна a и также отлична от нуля, тогда:

S/S(k) = a*10^6/a = 10^6

Поскольку a>0, деления на 0 не возникает.

Таким образом, наибольшее значение:

S/S(k) = 10^6.