Question

Докажите,что для любого n принадлежащего к N справедливо равенство1^3 +3^3+5^3+...+(2n-1)^3=n^2(2n^2-1)

..+(2n-1)^3=n^2(2n^2-1)

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

$1^3+3^3+5^3+...+(2n-1)^3=n^2(2n^2-1)$

Докажем базу индукции для $n=1$:

$1^3=1^2(2\times1^2-1)$

$1=1$, верно.

Докажем переход: предположим, что для $n=k$ выполнено:

$1^3+3^3+5^3+...+(2k-1)^3=k^2(2k^2-1)$

Тогда для $n=k+1$:

$1^3+3^3+5^3+...+(2k-1)^3+(2k+1)^3=k^2(2k^2-1)+(2k+1)^3=\\=k^2((2k+1)^2-2(k+1)^2)+(2k+1)^3=(2k+1)^2(k^2+2k+1)-2k^2(k+1)^2=\\=(2k+1)^2(k+1)^2-2k^2(k+1)^2=(k+1)^2((2k+1)^2-2k^2)=\\=(k+1)^2(2k^2+4k+1)=(k+1)^2(2(k+1)^2-1)$

Значит по принципу математической индукции выполнено равенство для любого $n\in\mathbb{N}$.

Задание выполнено!